Ответ:

2) x min = -1;     x max = 1;

3)  [tex]\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=2x-3y-1[/tex] ;     [tex]\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} =-3x-10y+4[/tex]

Пошаговое объяснение:

2. Исследовать на экстремум функцию f (x) = x/(1 + x²)

3. Найти частные производные функции

z = x² - 3xy - 5y² - x + 4y + 3.

[tex]\displaystyle \bf 2)\; f(x)=\frac{x}{1+x^2}[/tex]

ОДЗ: при любом значении х знаменатель будет положительным.

х ∈ R

Найдем производную, приравняем к нулю и найдем корни.

[tex]\displaystyle \bf f'(x)=\frac{x'\cdot (1+x^2)-x\cdot(1+x^2)'}{(1+x^2)^2} =\\\\=\frac{1\cdot(1+x^2)-x\cdot2x}{(1+x^2)^2} =\frac{1+x^2-2x^2}{(1+x^2)^2} =\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}[/tex]

[tex]\displaystyle \bf f'(x)=0\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2} =0[/tex]

• Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

⇒   1 - x² = 0;    (1 - x)(1 + x) = 0

x₁ = 1;     x₂ = -1

Отметим их на числовой оси и определим знаки производной на промежутках.

[tex]---[-1]+++[1]---[/tex]

• Если производная меняет знак с плюса на минус, то в данной точке наблюдается максимум, если с минуса на плюс, то в данной точке  - минимум.

x min = -1;     x max = 1

[tex]\displaystyle \bf 3)\;z = x^2 - 3xy - 5y^2 - x + 4y + 3[/tex]

1. Считаем у постоянной, продифференцируем данную функцию как функцию переменной х:

[tex]\displaystyle\bf \frac{\partial z}{\partial x} =2x-3y\cdot 1-0-1+0+0=2x-3y-1[/tex]

2. Теперь считаем x постоянной, продифференцируем данную функцию как функцию переменной y:

[tex]\displaystyle\bf \frac{\partial z}{\partial y} =0-3x\cdot 1-5\cdot 2y-0+4\cdot1+0=-3x-10y+4[/tex]

#SPJ1