З вершини прямокутника опущений перпендикуляр на його діагональ. Основа перпендикуляра ділить цю діагональ на відрізки, менший з яких дорівнює 2 сантиметри. Кут між перпендикуляром та меншою стороною прямокутника дорівнює 30 °. Обчисліть довжину меншої сторони прямокутника та довжини діагоналей
Answers & Comments
Ответ:
Позначимо меншу сторону прямокутника як "a", більшу сторону як "b", а діагональ як "d".
З умови відомо, що менший з відрізків діагоналі дорівнює 2 см, тобто a = 2 см.
Також відомо, що кут між перпендикуляром та меншою стороною прямокутника дорівнює 30°.
Ми можемо використовувати тригонометричні співвідношення, щоб знайти значення b та d:
1. Тангенс кута 30° дорівнює відношенню протилежної сторони (a) до прилеглої сторони (b), тобто: tan(30°) = a / b.
2. Також відомо, що діагональ може бути виражена через a та b за допомогою теореми Піфагора: d^2 = a^2 + b^2.
3. Ми знаємо, що a = 2 см, і можемо використовувати рівняння tan(30°) = 1/√3 для обчислення b.
tan(30°) = 1/√3 => b = a / (1/√3) => b = 2 см * √3.
4. Тепер ми можемо обчислити d за допомогою теореми Піфагора: d^2 = a^2 + b^2.
d^2 = (2 см)^2 + (2 см * √3)^2.
d^2 = 4 см^2 + 12 см^2 = 16 см^2.
d = √16 см^2 = 4 см.
Отже, менша сторона прямокутника a = 2 см, діагоналі прямокутника d = 4 см, а більша сторона прямокутника b = 2 см * √3.
Допустимо, довжина діагоналі прямокутника дорівнює **d**, довжина меншої сторони - **a**, а довжина більшої сторони - **b**.
За теоремою Піфагора, ми маємо:
**(a/2)^2 + (b/2)^2 = d^2** (1)
Для трикутника, утвореного перпендикуляром і меншою стороною прямокутника, маємо:
**tan(30°) = (a/2)/(x/2) = a/x** (2)
З рівняння (2), ми можемо отримати:
**x = a/(tan(30°))** (3)
Підставивши (3) в (1), отримуємо:
**(a/2)^2 + ((b-x)/2)^2 = d^2** (4)
Тепер ми можемо розв’язати систему рівнянь (1) і (4) для визначення значень **a** і **d**.
Отримані значення довжини меншої сторони прямокутника (**a**) і довжини діагоналі (**d**) можуть бути використані для обчислення довжини більшої сторони прямокутника (**b**).
Для обчислення довжини другої діагоналі, ми можемо скористатися відомою формулою для прямокутника, що каже, що діагоналі прямокутника мають однакову довжину (**d**).