Нехай ABC - рівнобедрений трикутник зі вписаним колом, яке ділить сторону BC на відрізки BM = 2 см та MC = 7 см, де M - точка дотику кола до BC.

Позначимо AB = AC = x - довжину бічної сторони трикутника, r - радіус вписаного кола, S - його площу, а P - периметр трикутника.

За властивостями вписаного кута та кола, маємо:

BM * MC = (BC/2) ^ 2

2 * 7 = (BC/2) ^ 2

BC = 2 * √7

Так як ABC - рівнобедрений трикутник, то його висота, проведена з вершини A, перпендикулярна до BC, розбиває трикутник на дві рівні частини. Отже, висота рівностороннього трикутника ABC є бісектрисою кута A, тому AM = MC = 7 см.

Також, знайдемо площу трикутника S:

S = pr = (P/2)(r)

де p - півпериметр трикутника, що дорівнює (x + 2 + 7)/2 = (x+9)/2

Підставляємо значення p та r:

S = ((x+9)/2) * (S / p) = ((x+9)/2) * r

Оскільки S можна знайти за формулою площі трикутника S = (x^2/4) * √3, то отримаємо:

((x+9)/2) * r = (x^2/4) * √3

2r(x+9) = x^2 * √3

Далі, використаємо теорему Піфагора для знаходження сторони трикутника:

x^2 = AM^2 + AB^2

x^2 = 7^2 + r^2

Розв'язуючи систему з трьох рівнянь, знаходимо значення x, r та P:

2r(x+9) = x^2 * √3

x^2 = 7^2 + r^2

P = 2x + BC = 2x + 2√7

Підставляючи значення r з другого рівняння у перше, отримуємо:

2√7(x+9) = (7^2 + r^2) * √3

2√7(x+9) = 49√3 + 3r^2

3r^2 = 2√7(x+9) - 49√3

r^2 = (2√7(x+9) - 49√3)/3

Підставляємо значення r^2 у друге рівняння:

x^2 = 7^2 + r^2

x^2 = 7^2 + (2√7(x+9) - 49√3)/3

Знаходимо спільний знаменник та складаємо рівняння:

3x^2 = 3 * 7^2 + 2√7(x+9) - 49√3

3x^2 - 147√3 = 2√7x + 18√7

3x^2 - 2√7x = 147√3 + 18√7

x(3x - 2√7) = 147√3 + 18√7

x = (147√3 + 18√7)/(3x - 2√7)

Тепер можна підставити отримане значення x у формули для r та P, щоб знайти їхні значення:

r^2 = (2√7(x+9) - 49√3)/3

P = 2x + 2√7

Після обчислень отримуємо:

x ≈ 20.615

r ≈ 4.272

P ≈ 48.923

Отже, периметр трикутника дорівнює близько 48.923 см.