Решить уравнение f'(x)=0, если f(x)=(x/2)+cos x.

Ответ:

[tex]\Large \boldsymbol {} \left [ \begin{array}{ccc} x=\frac{\pi}{6} +2\pi n, n\in \mathbb Z \\\\ x=\frac{5\pi }{6} +2\pi n, n\in \mathbb Z \end{array}\right[/tex]

Формулы:

1) sin x = b

[tex]\Large \boldsymbol {} \text{If}\ \sin x=b,\ |b|\leq 1,\ \text{then:}\\\\ \left [ \begin{array}{ccc} x=\arcsin b+2\pi n, n\in \mathbb Z\:\:\:\:\:\:\:\: \\\\ x=\pi-\arcsin b+2\pi n, n\in \mathbb Z \end{array}\right[/tex]

2) Производные:

[tex]\LARGE \boldsymbol {}\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\cline{6-10} f(x)&f(x)\±g(x)&\cos x&x&c \cline{6-10} f'(x)&f'(x)\±g'(x)&-\sin x&1&0 \cline{6-10} \end{array}[/tex]

где х - переменная, с - постоянная.

Пошаговое объяснение:

Найдём производную функции:

[tex]\LARGE \boldsymbol {} f(x)=\frac{x}{2}+\cos x\\\\f'(x)=(\frac{x}{2}+\cos x)'=(\frac{1}{2}x)'+(\cos x)'=\\\\=\frac{1}{2} *1+(-\sin x)=\frac{1}{2} -\sin x[/tex]

Прировняем производную к нулю:

[tex]\LARGE \boldsymbol {} \frac{1}{2} -\sin x =0\\\\-\sin x =-\frac{1}{2} \\\\\sin x =\frac{1}{2} \\\\\left [ \begin{array}{ccc} x=\arcsin \frac{1}{2} +2\pi n, n\in \mathbb Z\:\:\:\:\:\:\:\: \\\\ x=\pi-\arcsin \frac{1}{2}+2\pi n, n\in \mathbb Z \end{array}\\\\\Longleftrightarrow \\[/tex]

[tex]\LARGE \boldsymbol {} \\\Longleftrightarrow \left [ \begin{array}{ccc} x=\frac{\pi}{6} +2\pi n, n\in \mathbb Z \\\\ x=\frac{5\pi }{6} +2\pi n, n\in \mathbb Z \end{array}\right[/tex]