Verified answer

znanija.com/task/35210169

1 + cosx  =  ctg(x/2)  || в ОДЗ: sin(x/2)≠0|| ⇔ 2cos²(x/2) =cos(x/2)/sin(x/2) ⇔

cos(x/2) * 2 sin(x/2)*cos(x/2) = cos(x/2) ⇔ cos(x/2)* sinx = cos(x/2)⇔  cos(x/2)* sinx - cos(x/2) =0 ⇔  cos(x/2)*(sinx -1) =0 .

* * *  [ cos(x/2) = 0  ;  sinx - 1 =0. → совокупность уравнений написанной в  одной строчке → означает  cos(x/2) = 0  или  sinx -1 =0  * * *

- - - - - - - -

а) cos(x/2) = 0 ⇒ x/2 =π/2 +πk ⇔  x  =π +2πk  , k ∈ℤ  

* * * x =π +2πk =π(2k +1) = πn , где n нечетное целое число  * * *

б) sinx - 1 =0   ⇔ sinx = 1 ⇒  x=π/2 +2πk ,  k ∈ℤ

ответ :  π +2πk ; π/2 +2πk , k ∈ℤ

2-ой способ :

1+cosx  =2cos²(x/2) / (cos²(x/2)+sin²(x/2) ) =2ctg²(x/2) /(1+ctg²(x/2)

поэтому    2ctg²(x/2) /(1+ctg²(x/2) =ctg(x/2)    * * * (1+ctg²(x/2) ≠  0* * *

2ctg²(x/2)  =ctg(x/2) * (1+ctg²(x/2))⇔ctg(x/2) *(ctg²(x/2) - 2ctg(x/2) +1 ) ⇔

ctg(x/2) *(ctg(x/2) - 1 )² =0 ⇒  ctg(x/2) = 0  или   ctg(x/2) = 1  ⇒

x/2 = π/2+ πk  или  x/2 =π/4 + πk

x = π+2πk    или    x = π/2 +2πk , k ∈ℤ