Для решения этой системы уравнений методом Гаусса, мы будем приводить матрицу коэффициентов системы к ступенчатому виду, используя элементарные преобразования строк. Элементарные преобразования строк включают в себя следующие операции:

Умножение строки на ненулевое число.

Перестановка двух строк местами.

Добавление к одной строке другой, умноженной на число.

Шаг 1: Записываем расширенную матрицу системы:

| 1  2  1 | 10 |

| 2  1  1 | 20 |

| 1  3  1 | 30 |

Шаг 2: Используем первый элемент матрицы (1,1) как опорный элемент и приводим остальные элементы первого столбца к нулю. Для этого вычтем из второй строки первую, умноженную на 2, и из третьей строки первую:

| 1  2   1  | 10 |

| 0 -3  -1  |  0 |

| 0  1   0  | 20 |

Шаг 3: Используем второй элемент матрицы (2,2) как опорный элемент и приводим остальные элементы второго столбца к нулю. Для этого вычтем из третьей строки вторую, умноженную на 1/3:

| 1  2   1  | 10 |

| 0 -3  -1  |  0 |

| 0  0  1/3 | 20 |

Шаг 4: Используем третий элемент матрицы (3,3) как опорный элемент и приводим остальные элементы третьего столбца к нулю. Для этого вычтем из второй строки третью, умноженную на -1/3, и из первой строки третью, умноженную на -1:

| 1  2   0 | -170/3 |

| 0 -3   0 |  200/3 |

| 0  0 1/3 |     20 |

Шаг 5: Переносим полученную матрицу в систему уравнений и решаем ее обратным ходом метода Гаусса:

x3 = 20 * 3 = 60

-3x2 = 200/3

x2 = -200/9

x1 + 2x2 = 10

x1 = 10 - 2x2 = 10 + (400/9) = 130/9

Таким образом, решение системы уравнений методом Гаусса: x1 = 130/9,