Ответ:

Объяснение:

1. f(x)=2/3 ·x³ +1/2 ·x²-x+4

f'(x)=2/3 ·3x² +1/2 ·2x-1=2x²+x-1

2x²+x-1=0; D=1+8=9

x₁=(-1-3)/4=-4/4=-1

x₂=(-1+3)/4=2/4=1/2

f(-1)=2/3 ·(-1)³ +1/2 ·(-1)²-(-1)+4=-2/3 +1/2 +5=-4/6 +3/6 +4 6/6=4 5/6

f(1/2)=2/3 ·(1/2)³ +1/2 ·(1/2)² -1/2 +4=1/12 +1/8 +3 1/2=2/24 +3/24 +3 12/24=3 17/24

Ответ: f(min)=3 17/24; f(max)=4 5/6.

Проверка:

f''(x)=4x+1

f''(-1)=4·(-1)+1=-3 ⇒ -3<0 ⇒ точка x₁=-1 - точка максимума функции.

f''(1/2)=4·1/2 +1=3 ⇒ 3>0 ⇒ точка x₂=1/2 - точка минимума функции.

2. y=2x³-3x²+1

y'=6x²-6x

y''=12x-6

12x-6=0                               |6

2x=1

x=1/2 или x=0,5

f(1/2)=2·(1/2)³-3·(1/2)²+1=1/4 -3/4 +4/4=2/4=1/2=0,5 ⇒ 0,5>0 ⇒ функция выпукла вверх при x∈(0,5; ∞).

Ответ: x∈(0,5; ∞).

На всякий случай продолжу:

функция выпукла вниз при x∈(-∞; 0,5);

точка перегиба (0,5; 0,5).

3. f(x)=x³+4x, x₀=-2

Уравнение касательной: y(k)=y₀+y'(x₀)(x-x₀)

y₀=(-2)³+4·(-2)=-8-8=-16

f'(x)=3x²+4

f'(-2)=3·(-2)²+4=12+4=16

y(k)=-16+16(x-(-2))=-16+16x+32=16x+16

Ответ: y(k)=16x+16.