На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD построены внешним образом правильные треугольники BCK и DCL.
Докажите, что треугольник AKL – правильный.
Подсказка:
Треугольники KCL, ADL, KBA равны.
Решение
Первый способ. Обозначим ∠BCD = α. Рассмотрим случай, когда α < 60°. Поскольку KC = BC = AD, CL = LD,
∠KCL = ∠KCB + ∠BCD + ∠DCL = 60° + α + 60° = 120° + α, ∠ADL = 360° – ∠ADC – ∠CDL = 360° – (180° – α) ‐ 60° = 120° + α, то треугольники KCL и ADL равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому KL = AL. Точно так же докажем, что KL = AK. Аналогично для остальных случаев.
Второй способ. При повороте на угол 60° векторы LC и CK переходят в векторы LD и CB = DA. Следовательно, при этом повороте вектор
LK= LC +CK переходит в вектор LD + DA =LA . Поэтому треугольник AKL – равносторонний.
Answers & Comments
Ответ:
Объяснение:
Условие
На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD построены внешним образом правильные треугольники BCK и DCL.
Докажите, что треугольник AKL – правильный.
Подсказка:
Треугольники KCL, ADL, KBA равны.
Решение
Первый способ. Обозначим ∠BCD = α. Рассмотрим случай, когда α < 60°. Поскольку KC = BC = AD, CL = LD,
∠KCL = ∠KCB + ∠BCD + ∠DCL = 60° + α + 60° = 120° + α, ∠ADL = 360° – ∠ADC – ∠CDL = 360° – (180° – α) ‐ 60° = 120° + α, то треугольники KCL и ADL равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому KL = AL. Точно так же докажем, что KL = AK. Аналогично для остальных случаев.
Второй способ. При повороте на угол 60° векторы LC и CK переходят в векторы LD и CB = DA. Следовательно, при этом повороте вектор
LK= LC +CK переходит в вектор LD + DA =LA . Поэтому треугольник AKL – равносторонний.