Ответ:

Длина отрезка GH равна 5 ед.

Объяснение:

Дан прямоугольник ABCD. Точка Е середина стороны AD. На стороне CD отмечена точка Н. Отрезок АН пересекает отрезки BE и CE в точках F и G соответственно (см. рис.). Известно, что AF = 6 и FG = 4. Найдите длину отрезка GH.

Дано: прямоугольник ABCD;

АЕ = ED;

H ∈ CD;

AH ∩ BE = F; AH ∩ CE = G;

AF = 6; FG = 4.

Найти: GH.

Решение:

Проведем FM ⊥ AD; KE ⊥ AD; GO ⊥ AD.

• Если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны между собой.

⇒ FM || KE || GO || CD.

1. Рассмотрим ΔAFM и ΔAGO - прямоугольные.

∠GAO - общий.

⇒ ΔAFM ~ ΔAGO (по двум углам)

Запишем отношения сходственных сторон:

[tex]\displaystyle \frac{FM}{GO}=\frac{AF}{AG} \\\\ \frac{FM}{GO}=\frac{6}{6+4}=\frac{3}{5}[/tex]

2. Рассмотрим ΔABE и ΔECD - прямоугольные.

• Противоположные стороны прямоугольника равны.

⇒ AB = CD

AE = ED (условие)

ΔABE = ΔECD (по двум катетам)

⇒ ∠ВЕА = ∠CED (как соответственные элементы)

3. Рассмотрим ΔMFE и ΔOGE - прямоугольные.

∠ВЕА = ∠CED (п.2)

⇒ ΔMFE ~ ΔOGE (по двум углам)

Запишем отношение сходственных сторон:

[tex]\displaystyle \frac{ME}{EO}=\frac{FM}{GO}=\frac{3}{5}[/tex]

4. FM || KE || GO

• Если параллельные прямые пересекают стороны угла, то отрезки, образовавшиеся на одной стороне угла, пропорциональны соответствующим отрезкам, образовавшимся на другой стороне.

⇒

[tex]\displaystyle \frac{ME}{EO}=\frac{FK}{KG}=\frac{3}{5}[/tex]

Пусть FK = 3x, тогда KG = 5x.

FG = 4.

Составим уравнение:

3x + 5x = 4

8x = 4

x = 0,5

⇒ FK = 1,5;  KG = 2,5.

5. AE = ED (условие)

EK || CD (построение)

• Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных между собой отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

⇒ АК = КН

или

АЕ + ЕК = KG + GH

6 + 1,5 = 2,5 + GH

GH = 5

Длина отрезка GH равна 5 ед.

#SPJ1