Verified answer

Ответ:

С первого по пятый день белка запасла 155 орехов.

Пошаговое объяснение:

Сколько орехов запасла белка с первого по пятый день?

Что нам известно?

1) Белка  запасала себе в одинаковое число раз больше орехов, чем в предыдущий.

2) На третий день она запасла 20 орехов.

3) На пятый день ей удалось запасти на 40 орехов больше, чем в предыдущий день.

Все это геометрическая прогрессия.

Геометрической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное для этой последовательности, отличное от нуля, число. Это число называется знаменателем геометрической прогрессии.

Итак, нам дано:

b₃ = 20

b₅ - b₄ = 40

S₅ = ?

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид:

bₙ = b₁ * qⁿ⁻¹

Запишем с ее помощью, данные по условию, члены геометрической прогрессии:

b₃ = b₁*q³⁻¹ =  b₁*q²

b₄ = b₁*q⁴⁻¹ = b₁ *q³

b₅ = b₁*q⁵⁻¹ = b₁ *q⁴

Получаем систему уравнений :

[tex]\displaystyle \left \{ {{b_{1} *q^2=20} \atop {b_{1} *q^4-b_{1} *q^3=20}} \right. \\ \\[/tex]

Из первого уравнения выразим b₁ через q и подставим во второе уравнение :

[tex]\displaystyle \left \{ {{b_{1} =\frac{20}{q^2} } \atop {\frac{20}{q^2}*q^4 -\frac{20}{q^2}* q^3=40}} \right. \\ \\ 20q^2-20q=40[/tex]

разделим правую и левую стороны уравнения на 20 и получим уравнение :

q² - q = 2

q² - q - 2 = 0

Мы получили квадратное уравнение, найдем дискриминант :

D = 1² - 4 * ( - 2) = 9

√D = 3

Можем найти q :

[tex]\displaystyle q_{1}=\frac{1 - 3}{2}=\frac{-2}{2}= - 1\\ \\ q_{2}=\frac{1+3}{2}=\frac{4}{2}=2[/tex]

Отрицательный корень отбрасываем, поскольку количество орехов не может возрастать на отрицательную величину, значит

знаменатель геометрической прогрессии q= 2

Найдем первый член геометрической прогрессии :

[tex]\displaystyle b_{1}=\frac{20}{2^2}=\frac{20}{4}=5[/tex]

Зная первый член геометрической прогрессии и знаменатель геометрической прогрессии, можем найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии. Используем формулу :

[tex]\displaystyle S_{n}=\frac{b_{1}(q^n-1) }{q-1} \ \ \ q\neq 1[/tex]

[tex]\displaystyle S_{5}=\frac{5(2^5-1) }{2-1}=5*2^5 -5=5 * 32 - 5 = 160 - 5 = 155[/tex]

С первого по пятый день белка запасла 155 орехов.