Ответ:

Для знаходження об'єму циліндра необхідно знати його висоту та радіус основи. За умовою діагональ перерізу циліндра, яка паралельна його осі, дорівнює 8 корінь з трьох см. Оскільки діагональ є гіпотенузою прямокутного трикутника, то можна скористатися теоремою Піфагора:

(2r)^2 = (8\sqrt{3})^2 - h^2,

де r - радіус основи циліндра, h - його висота.

За умовою переріз утворює з площиною основи кут 60 градусів, тому площа основи дорівнює:

S = \frac{1}{2}r^2\sqrt{3}.

Також за умовою переріз відтинає від кола основи кут 120°, що означає, що довжина відрізка, який утворюється перетином циліндра з площиною основи, дорівнює \frac{2\pi r}{3}.

Отже, об'єм циліндра можна знайти за формулою:

V = S \cdot h = \frac{1}{2}r^2\sqrt{3} \cdot h = \frac{1}{2}r^2\sqrt{3} \cdot \frac{2\pi r}{3} = \frac{\pi}{3}r^3.

Підставляємо значення радіуса, який дорівнює \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}, і розкриваємо дужки:

V = \frac{\pi}{3}(4\sqrt{3})^3 = \frac{\pi}{3} \cdot 192\sqrt{3} \approx 211,89 см^3.