Ответ:

[tex]1 - \frac{1}{2011!} [/tex]

Объяснение:

Для начала посмотрим, как изменяется с каждым разом наше выражение:

[tex] \frac{1}{2!} = \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} = \frac{4! - 1}{4!}[/tex]

То есть, скорее всего ряд

[tex]\frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!}... \frac{n}{(n + 1)!} = \frac{(n + 1)! - 1}{(n + 1)!}[/tex]

Докажем это, применив метод математической индукции.

База индукции: при n=1 утверждение верно.

Индуктивный переход: положим утверждение верно для n=k. При n=k+1 выражение принимает вид

[tex]\frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!}... \frac{k}{(k + 1)!} + \frac{k + 1}{(k + 2)!} = \frac{(k + 1)! - 1}{(k + 1)!} + \frac{k + 1}{(k + 2)!} = 1 + \frac{ - k - 2 + k + 1}{(k + 2)!} = \frac{(k + 2)! - 1}{(k + 2)!}[/tex]

Утверждение также верно. Если утверждение верно для n=k, то оно верно для n=k+1. Следовательно утверждение верно для любого натурального n.