К двум окружностям можно провести только две общих внутренних касательных; других общих внутренних касательных у этих окружностей нет.
Из данной теоремы следует, что существует единственная точка P пересечения внутренних касательных; других точек пересечения внутренних касательных нет.
Докажем, что точка P принадлежит прямой О₁О₂.
1) Соединим центры окружностей прямой О₁О₂ и из точки О₁ опустим перпендикуляры к касательным, проведённым к окружности с центром О₁, - получим 2 прямоугольных треугольника, в которых:
- два катета, проведённых из центра окружности О₁ к касательным, равны между собой как радиусы одной окружности;
- два других катета также равны между собой как касательные, проведённые к данной окружности из одной и той же точки пересечения касательных (назовём эту точку Х).
2) Так как две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
3) В равных треугольниках углы, лежащие против равных сторон, равны, следовательно, прямая О₁О₂ делит вертикальные углы, образованные пересечением касательных, на 2 пары равных углов.
4) В рассматриваемых равных прямоугольных треугольниках сторона О₁Х является общей, в силу чего вершина Х также является общей и принадлежит одновременно двум внутренним касательным, а это может быть тогда и только тогда, когда точка Х совпадает с точкой Р, так как существует только одна точка пересечения внутренних касательных.
Что и требовалось доказать.
Примечание.
Для окружности с центром О₂ построения и ход рассуждения аналогичны рассмотренным выше для О₁.
1 votes Thanks 1
anjalichtin
ГРОМАДНОЕ ПРЕГРОМАДНОЕ СПАСИБИЩЕ!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ВЫ МНЕ НЕВЕРОЯТНО ПОМОГЛИ!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!))))))))))))))))))))))))))))))))))))))ฅ(๑*▽*๑)ฅ!!!!!!!! ヾ(〃^∇^)ﾉ
Answers & Comments
Ответ:
См. Объяснение
Объяснение:
Есть теорема о внутренних касательных.
К двум окружностям можно провести только две общих внутренних касательных; других общих внутренних касательных у этих окружностей нет.
Из данной теоремы следует, что существует единственная точка P пересечения внутренних касательных; других точек пересечения внутренних касательных нет.
Докажем, что точка P принадлежит прямой О₁О₂.
1) Соединим центры окружностей прямой О₁О₂ и из точки О₁ опустим перпендикуляры к касательным, проведённым к окружности с центром О₁, - получим 2 прямоугольных треугольника, в которых:
- два катета, проведённых из центра окружности О₁ к касательным, равны между собой как радиусы одной окружности;
- два других катета также равны между собой как касательные, проведённые к данной окружности из одной и той же точки пересечения касательных (назовём эту точку Х).
2) Так как две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
3) В равных треугольниках углы, лежащие против равных сторон, равны, следовательно, прямая О₁О₂ делит вертикальные углы, образованные пересечением касательных, на 2 пары равных углов.
4) В рассматриваемых равных прямоугольных треугольниках сторона О₁Х является общей, в силу чего вершина Х также является общей и принадлежит одновременно двум внутренним касательным, а это может быть тогда и только тогда, когда точка Х совпадает с точкой Р, так как существует только одна точка пересечения внутренних касательных.
Что и требовалось доказать.
Примечание.
Для окружности с центром О₂ построения и ход рассуждения аналогичны рассмотренным выше для О₁.
ヾ(〃^∇^)ﾉ