Ответ:
Решить иррациональные уравнения .
[tex]a)\ \ \sqrt{x^2+x-3}=\sqrt{1-2x}\ \ ,\ \ \ ODZ:\ \left\{\begin{array}{l}x^2+x+3\geq 0\\1-2x\geq 0\end{array}\right[/tex]
Обе части уравнения неотрицательны, можно возвести уравнение в квадрат .
[tex]x^2+x-3=1-2x\ \ ,\ \ \ x^2+3x-4=0\ \ ,\\\\x_1=-4\ ,\ x_2=1\ \ (teorema\ Vieta)[/tex]
Проверка.
[tex]x=-4:\ \sqrt{(-4)^2-4-3}=\sqrt{16-7}=\sqrt{9}=3\\\\{}\qquad \ \qquad \sqrt{1-2\cdot (-4)}=\sqrt{1+8}=\sqrt{9}=3\ \ ,\qquad 3=3\\\\x=1:\ \sqrt{1^2+1-3}=\sqrt{2-3}=\sqrt{-1}[/tex]
Второй корень не подходит, так как выражение под знаком корня не может быть отрицательным .
Ответ: х= -4 .
P.S. Из 2-го условия, записанного в ОДЗ выходит, что [tex]1\geq 2x\ \ \to \ \ x\leq \dfrac{1}{2}[/tex] . Корень х=1 не входит в этот промежуток , его
можно было сразу отсеять .
[tex]b)\ \ \sqrt{2x^2+7}=x^2-4\ \ \ \Longleftrightarrow \ \ \left\{\begin{array}{l}x^2-4\geq 0\\2x^2+7=(x^2-4)^2\end{array}\right\\\\\\\left\{\begin{array}{l}x^2-4\geq 0\\2x^2+7=x^4-8x^2+16\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}(x-2)(x+2)\geq 0\\x^4-10x^2+9=0\end{array}\right[/tex]
[tex]\left\{\begin{array}{l}x\in (-\infty ;-2\ ]\cup [\ 2\ ;+\infty\, )\\(x^2-1)(x^2-9)=0\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}x\in (-\infty ;-2\ ]\cup [\ 2\ ;+\infty\, )\\x^2=1\ ,\ x^2=9\end{array}\right\\\\\\\left\{\begin{array}{l}x\in (-\infty ;-2\ ]\cup [\ 2\ ;+\infty\, )\\x=\pm 1\ ,\ x=\pm 3\end{array}\right[/tex]
Значения х= -1 и х=1 не входят во множество решений 1-го неравенства .
Ответ: х= -3 , х=3 .
Copyright © 2024 SCHOLAR.TIPS - All rights reserved.
Answers & Comments
Ответ:
Решить иррациональные уравнения .
[tex]a)\ \ \sqrt{x^2+x-3}=\sqrt{1-2x}\ \ ,\ \ \ ODZ:\ \left\{\begin{array}{l}x^2+x+3\geq 0\\1-2x\geq 0\end{array}\right[/tex]
Обе части уравнения неотрицательны, можно возвести уравнение в квадрат .
[tex]x^2+x-3=1-2x\ \ ,\ \ \ x^2+3x-4=0\ \ ,\\\\x_1=-4\ ,\ x_2=1\ \ (teorema\ Vieta)[/tex]
Проверка.
[tex]x=-4:\ \sqrt{(-4)^2-4-3}=\sqrt{16-7}=\sqrt{9}=3\\\\{}\qquad \ \qquad \sqrt{1-2\cdot (-4)}=\sqrt{1+8}=\sqrt{9}=3\ \ ,\qquad 3=3\\\\x=1:\ \sqrt{1^2+1-3}=\sqrt{2-3}=\sqrt{-1}[/tex]
Второй корень не подходит, так как выражение под знаком корня не может быть отрицательным .
Ответ: х= -4 .
P.S. Из 2-го условия, записанного в ОДЗ выходит, что [tex]1\geq 2x\ \ \to \ \ x\leq \dfrac{1}{2}[/tex] . Корень х=1 не входит в этот промежуток , его
можно было сразу отсеять .
[tex]b)\ \ \sqrt{2x^2+7}=x^2-4\ \ \ \Longleftrightarrow \ \ \left\{\begin{array}{l}x^2-4\geq 0\\2x^2+7=(x^2-4)^2\end{array}\right\\\\\\\left\{\begin{array}{l}x^2-4\geq 0\\2x^2+7=x^4-8x^2+16\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}(x-2)(x+2)\geq 0\\x^4-10x^2+9=0\end{array}\right[/tex]
[tex]\left\{\begin{array}{l}x\in (-\infty ;-2\ ]\cup [\ 2\ ;+\infty\, )\\(x^2-1)(x^2-9)=0\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}x\in (-\infty ;-2\ ]\cup [\ 2\ ;+\infty\, )\\x^2=1\ ,\ x^2=9\end{array}\right\\\\\\\left\{\begin{array}{l}x\in (-\infty ;-2\ ]\cup [\ 2\ ;+\infty\, )\\x=\pm 1\ ,\ x=\pm 3\end{array}\right[/tex]
Значения х= -1 и х=1 не входят во множество решений 1-го неравенства .
Ответ: х= -3 , х=3 .