Срочно нужно подробно и правильно найти Область Допустимых Значений
иррационального уравнения: (x^2+7x+10)*(3x^2-10x+3)^(1/2)=15-2x-x^2
и далее решить данное уравнение.
иррационального уравнения: (x^2+7x+10)*(3x^2-10x+3)^(1/2)=15-2x-x^2
и далее решить данное уравнение.
Answers & Comments
Verified answer
ОДЗ3x²-10x+3≥0
D=100-36=84
x1=(10-8)/6=1/3 U x2=(10+8)/6=3
x≤1/3 U x≥3
x∈(-∞;1/3] U [3;∞)
------------------------------
x²+7x+10=(x+2)(x+5)
x1+x2=-7 U x1*x2=10⇒x1=-2 U x2=-5
15-2x-x²=(x+5)(3-x)
-(x²+2x-15)=0
x1+x2=-2 U x1*x2=-15⇒x1=-5 U x2=3
----------------------------------
(x+2)(x+5)√(3x²-10x+3)=(x+5)(3-x)
(x+5)((x+2)√(3x²-10x+3)-(3-x))=0
x+5=0⇒x=-5
√(3x²-10x+3)=(3-x)
Возведем в квадрат
(x+2)²(3x²-10x+3)=(3-x)²
(x+2)²(3x-1)(x-3)=(x-3)²
(x-3)((x+2)²(3x-1)-(x-3))=0
x-3=0⇒x=3
(x²+4x+4)(3x-1)-x+3)=0
3x³-x²+12x²-4x+12x-4-x+3=0
3x²+11x²+7x-1=0
(x+1)(3x²+8x-1)=0
x+1=0⇒x=-1
3x²+8x-1=0
D=64+12=76
x1=(-8-2√19)/6=(-4-√19)/3
x2=(-4+√19)/3∉ОДЗ
Ответ х=-5;x=-1;x=3;x=(-4-√19)/3
1)3x²-10x+3≥0
D=100-36=84
x1=(10-8)/6=1/3 U x2=(10+8)/6=3
x≤1/3 U x≥3
x∈(-∞;1/3] U [3;∞)
------------------------------
2)
a)x²+7x+10=(x+2)(x+5)
x1+x2=-7 U x1*x2=10⇒x1=-2 U x2=-5
15-2x-x²=-(x+5)(3-x)
б)-(x²+2x-15)=0
x1+x2=-2 U x1*x2=-15⇒x1=-5 U x2=3
в)3х²-10х+3=3(х-1/3)(х-3)=(3х-1)(х-3)
----------------------------------
(x+5)((x+2)√(3x²-10x+3)-(3-x))=0
x+5=0⇒x=-5
(х+2)√(3x²-10x+3)=(3-x)
√(3x²-10x+3)=(3-х)/(х+2)
ОДЗ
{3x²-10x+3≥0⇒x≤1/3 U x≥3
{(3-x)/(x+2)≥0⇒-2<x≤3
x∈(-2;1/3] U {3}
(x+2)√(3x-1)(x-3)-√(x-3)²=0
√(x-3) *[(x+2)√(3x-1)-√(x-3)]=0
x-3=0⇒x=3
(x+2)√(3x-1)=√(x-3)
(x²+4x+4)(3x-1)=x-3
3x³-x²+12x²-4x+12x-4-x+3=0
3x²+11x²+7x-1=0
(x+1)(3x²+8x-1)=0
x+1=0⇒x=-1
3x²+8x-1=0
D=64+12=76
x1=(-8-2√19)/6=(-4-√19)/3∉ОДЗ
x2=(-4+√19)/3
Ответ х=-5;x=-1;x=3;x=(-4+√19)/3
Verified answer
Область допустимых значений: выражение под корнем неотрицательно.3x^2 - 10x + 3 >= 0
(x - 3)(3x - 1) >= 0
По методу интервалов x ∈ (-oo; 1/3] U [3; +oo)
Разложим на скобки остальные множители
x^2 + 7x + 10 = (x + 2)(x + 5)
-x^2 - 2x + 15 = -(x + 5)(x - 3)
Получаем такое уравнение:
x1 = -5 ∈ ОДЗ, x2 = 3 ∈ ОДЗ.
Делим на (x + 5)
Делить на √(x - 3) нельзя, потому что оставшиеся под корнем выражения могут оказаться отрицательными.
Корень арифметический, то есть неотрицательный. Поэтому x ∈ [-2; 3]
В итоге ОДЗ для этого случая: x ∈ [-2; 1/3] U [3]
Возводим всё в квадрат:
(x + 2)^2*(x - 3)(3x - 1) = (x - 3)^2
x1 = 3
(x^2 + 4x + 4)(3x - 1) = x - 3
3x^3 + 12x^2 + 12x - x^2 - 4x - 4 - x + 3 = 0
3x^3 + 11x^2 + 7x - 1 = 0
3x^3 + 3x^2 + 8x^2 + 8x - x - 1 = 0
(x + 1)(3x^2 + 8x - 1) = 0
x2 = -1
3x^2 + 8x - 1 = 0
D/4 = 4^2 - 3(-1) = 16 + 3 = 19
x3 = (-4 - √19)/3 ~ -2,8 - не подходит по ОДЗ x [-2; 1/3] U [3]
x4 = (-4 + √19)/3 ~ 0,12 - подходит по ОДЗ
Ответ: x1 = -5; x2 = 3; x3 = -1; x4 = (-4 + √19)/3
Возведение в квадрат - это неравносильное преобразование, в результате которого могут появится лишние корни.
Это принципиально разные вещи.
ОДЗ само по себе. И как его не выписывай, после возведения в квадрат всё-равно нужно проверять: являются ли корни полученного уравнения корнями исходного. При этом посторонние корни могут входить в ОДЗ исходного уравнения.