Ответ:

1) BC = 10 см; 2) S(ABCD) = 24√21 см^2;

3) BM = 2,4√21 см; DN = 1,6√21 см.

Объяснение:

Смотрите рисунок. Параллелограмм ABCD.

Диагонали AC = 23 см, BD = 11 см. Сторона AB = CD = 15 см.

Найти:

1) Другую сторону BC = AD.

2) Площадь параллелограмма S(ABCD).

3) Высоты параллелограмма BM и DN.

Решение:

1) Есть такое свойство диагоналей параллелограмма:

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон.

AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + BC^2)

Отсюда:

BC^2 = (AC^2 + BD^2)/2 - AB^2 = (23^2 + 11^2)/2 - 15^2

BC^2 = (529 + 121)/2 - 225 = 650/2 - 225 = 325 - 225 = 100

BC = AD = √100 = 10 см.

2) Площадь параллелограмма ABCD в 2 раза больше площади треугольника ABD. А его можно найти по формуле Герона:

P(ABD) = AB + AD + BD = 15 + 10 + 11 = 36 см

p = P(ABD)/2 = 36/2 = 18 см.

[tex]S(ABD)=\sqrt{p(p-AB)(p-BD)(p-AD)} =\sqrt{18(18-15)(18-11)(18-10)}=[/tex][tex]=\sqrt{18*3*7*8}=\sqrt{9*2*8*21}=3*4\sqrt{21}=12\sqrt{21}[/tex] см^2

S(ABCD) = 2*S(ABD) = 2*12√21 = 24√21 см^2

3) С другой стороны, площадь параллелограмма можно найти так:

S(ABCD) = AB*DN = AD*BM

Отсюда высоты параллелограмма:

BM = S(ABCD)/AD = 24√21/10 = 2,4√21 см.

DN = S(ABCD)/AB = 24√21/15 = 1,6√21 см.