Ответ:

Из основного тригонометрического тождества  [tex]sin^2a+cos^2a=1[/tex] , если разделить обе его части на   [tex]cos^2a[/tex] ,  cледует  другое тождество :

[tex]1+tg^2a=\dfrac{1}{cos^2a}[/tex]  .  Им и надо пользоваться  при решении этих примеров .

[tex]2)\ \ tg\beta =-2\\\\\dfrac{sin\beta \, cos\beta -3}{6\, cos^2\beta -sin^2\beta }=\dfrac{cos^2\beta \cdot \Big(\dfrac{sin\beta }{cos\beta }-3\cdot \dfrac{1}{cos^2\beta }\Big)}{cos^2\beta \cdot \Big(6-\dfrac{sin^2\beta }{cos^2\beta }\Big)}=\dfrac{tg\beta -3\cdot (1+tg^2\beta )}{6-tg^2\beta }=\\\\\\=\dfrac{tg\beta -3-3\, tg^2\beta }{6-tg^2\beta }=\dfrac{-2-3-3\cdot 4}{6-4}=\dfrac{-5-12}{2}=\dfrac{-17}{2}=-8,5[/tex]  

[tex]3)\ \ tg\beta =-4\ ,\\\\\dfrac{2\, sin\beta \, cos\beta +3}{4\, cos^2\beta +sin^2\beta }=\dfrac{cos^2\beta \cdot \Big(2\cdot \dfrac{sin\beta }{cos\beta }+3\cdot \dfrac{1}{cos^2\beta }\Big)}{cos^2\beta \cdot \Big(4+\dfrac{sin^2\beta }{cos^2\beta }\Big)}=\dfrac{2\, tg\beta +3\cdot (1+tg^2\beta )}{4+tg^2\beta }=\\\\\\=\dfrac{2\, tg\beta +3+3\, tg^2\beta }{4+tg^2\beta }=\dfrac{-8+3+3\cdot 16}{4+16}=\dfrac{-5+48}{20}=\dfrac{43}{20}=2,15[/tex]  

[tex]4)\ \ tg\beta =3\\\\\dfrac{cos^2\beta +2}{cos^2\beta +3sin\beta \cdot cos\beta }=\dfrac{cos^2\beta \cdot \Big(1+2\cdot \dfrac{1}{cos^2\beta }\Big)}{cos^2\beta \cdot \Big(1+3\cdot \dfrac{sin\beta }{cos\beta }\Big)}=\dfrac{1+2\cdot (1+tg^2\beta )}{1+3\, tg\beta }=\\\\\\=\dfrac{1+2+2\, tg^2\beta }{1+3\cdot 3}=\dfrac{3+2\cdot 9}{1+9}=\dfrac{3+18}{10}=\dfrac{21}{10}=2,1[/tex]