Ответ: -4,5 и 3.

Пошаговое объяснение:

Заметим, что √(2х² + 3х + 9) можно обозначить t, тогда получим уравнение

2х² + 3х + 9 + √(2х² + 3х + 9) = 33 + 9,

t² + t = 42,

t² + t - 42 = 0,

D = 1² - 4 · 1 · (-42) = 1 + 168 = 169; √169 = 13;

t₁ = (-1 + 13)/(2 · 1) = 12/2 = 6,

t₂ = (-1 - 13)/(2 · 1) = -14/2 = -7;

1) если t₁ = 6, то:

   √(2х² + 3х + 9) = 6,

   2х² + 3х + 9 = 6²

   2х² + 3х + 9 = 36,

   2х² + 3х - 27 = 0,

   D = 3² - 4 · 2 · (-27) = 9 + 216 = 225; √225 = 15;

   x₁ = (-3 + 15)/(2 · 2) = 12/4 = 3;

   x₂ =  (-3 - 15)/(2 · 2) = -18/4 = -4,5.

2) если t₂ = -7, то:

   √(2х² + 3х + 9) = -7 - нет решений.

При возведениии частей уравнения в квадрат возможно появление посторонних корней, поэтому необходимо сделать проверку получившихся значений переменных или найти область допустимых значений уравнения.

Т.к. выражение  2х² + 3х + 9 стоит под знаком корня, то оно должно принимать неотрицательные значения, т.е. нужно найти те значения переменной х, для которых выполняется неравенство  2х² + 3х + 9 ≥ 0.

Рассмотрим функцию у = 2х² + 3х + 9. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем нули функции:

2х² + 3х + 9 = 0,

D = 3² - 4 · 2 · 9 = 9 - 72 < 0, значит, данная функция не имеет нулей и принимает только положительные значения, т.е. 2х² + 3х + 9 > 0 для всех значений перменной х.

Значит, числа 3 и -4,5 - решения данного уравнения.