Задача. Доказать, что [tex]1+4+7+ \ldots +(3n-2)=\dfrac{n(3n-1)}{2}[/tex].

Доказательство.

1. База индукции. Проверим для [tex]n=1[/tex]:

[tex]1=\dfrac{1 \cdot (3 -1)}{2}=\dfrac 22=1[/tex]

Она выполняется.

2. Индуктивный переход. Пусть это верно для [tex]n=k[/tex]:

[tex]1+4+7+\ldots+(3k-2)=\dfrac{k(3k-1)}{2}[/tex]

Докажем, что это остаётся верным и для [tex]n=k+1[/tex]. Следующим за [tex]3k-2[/tex] членом будет [tex]3k+1[/tex]:

[tex]1+4+7+\ldots+(3k-2)+(3k+1)=\dfrac{k(3k-1)}{2}+3k+1=\\=\dfrac{k(3k-1)+2 \cdot (3k+1)}{2}=\dfrac{3k^2-k+6k+2}{2}=\dfrac{3k^2+5k+2}{2}[/tex]

Чтобы были понятны дальнейшие преобразования: нам надо соорудить (k+1) в двух старших членах трёхчлена в знаменателе:

[tex](k+1)^2=k^2+2k+1\\k^2=(k+1)^2-2k-1\\\\5(k+1)=5k+5\\5k=5(k+1)-5[/tex]

Подставляем:

[tex]\dfrac{3k^2+5k+2}{2}=\dfrac{3 \cdot ((k+1)^2-2k-1)+5(k+1)-5+2}{2}=\\=\dfrac{3 \cdot (k+1)^2+3 \cdot (-2k-1)+5k+5-5+2}{2}=\\=\dfrac{3(k+1)^2-6k-3+5k+2}{2}=\dfrac{3(k+1)^2-k-1}{2}=\\=\dfrac{3(k+1)^2-(k+1)}{2}=\dfrac{(k+1)(3(k+1)-1)}{2}=\dfrac{n(3n-1)}{2}[/tex]

Что и требовалось доказать.