Verified answer

Ответ:

Объем пирамиды равен 240 см ³.

Пошаговое объяснение:

Основанием пирамиды является прямоугольник с диагоналями 24 см и углом между ними в 30 °. Найти объем пирамиды, если все ее боковые ребра равны по 13см.

Пусть дана пирамида SABCD . ABCD - прямоугольник .

Диагонали AC =BD = 24 см . Диагонали пресекаются в точке О и точкой пересечения делятся пополам.

∠ВОС =30 °.

Объем пирамиды определяется по формуле

[tex]V =\dfrac{1}{3}\cdot S \cdot H,[/tex]

где S - площадь основания, H - высота пирамиды .

Найдем площадь прямоугольника как полупроизведение диагоналей на синус угла между ними.

[tex]S =\dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot BD \cdot sin 30^{0} ;\\\\S =\dfrac{1}{2} \cdot 24 \cdot 24 \cdot sin 30^{0}=12\cdot24 \cdot\dfrac{1}{2}=12\cdot12 =144[/tex]

Площадь прямоугольника равна 144 см².

Найдем высоту пирамиды . Рассмотрим Δ АОS - прямоугольный

АS = 13 см, АО= 24:2 =12 см

По теореме Пифагора : в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов .

[tex]AS ^{2} =AO^{2} +OS^{2} ;\\OS^{2} =AS ^{2} -AO^{2};\\OS= \sqrt{AS ^{2} -AO^{2}} ;\\OS =\sqrt{13^{2} -12^{2} } =\sqrt{169-144} =\sqrt{25} =5[/tex]

Высота пирамиды равна 5 см.

Тогда найдем объем пирамиды

[tex]V= \dfrac{1}{3} \cdot 144 \cdot 5=48\cdot5= 240[/tex]

Объем пирамиды равен 240 см ³.

#SPJ1