Verified answer

Ответ:

[tex]\bf arcsin(sinx)=x[/tex]  , если    [tex]\bf x\in \Big[-\dfrac{\pi }{2}\ ;\ \dfrac{\pi }{2}\ \Big][/tex]  .

Поэтому, надо следить за тем , в каких пределах изменяется аргумент . Если аргумент не принадлежит указанному промежутку, то с помощью формул приведения можно привести  sinx  к  нужному аргументу .

[tex]\bf 2)\ \ arcsin\Big(sin2\Big)\ne 2[/tex]  , так как   [tex]\bf 2\notin \Big[-\dfrac{\pi }{2}\ ;\ \dfrac{\pi }{2}\ \Big][/tex]  .        

2 радиана ≈ 2 · 57,3° = 114,6° >90°  ,  114,6° ∈ 2 четверти

Или можно это определить так:  π ≈ 3,14  ⇒   π/2 ≈ 1,57  радиан ,

2 > 1,57  ,  2 ∉ [ -1,57 ; 1,57 ]  .

Применим формулу приведения :  [tex]\boldsymbol{sin\, \alpha =sin(\pi -\alpha )}[/tex]  .

[tex]\boldsymbol{sin2=sin(\pi -2)\ \ ,\ \ \pi -2\approx 3,14-2=1,14\in [-1,57\, ;\, 1,57\, ]}\\\\\boldsymbol{arcsin(sin2)=arcsin\Big(sin(\pi -2)\Big)=\pi -2}[/tex]    

Ответ:  [tex]\boldsymbol{arcsin\Big(sin2\Big)=\pi -2}[/tex]  .          

[tex]\bf 4)\ \ arcsin\Big(sin20\Big)\ \ ,\ \ \ 20\notin \Big[-\dfrac{\pi }{2}\ ;\ \dfrac{\pi }{2}\ \Big]\\\\20\ \ radian\approx6\cdot \underbrace{\bf 3,14}_{\pi }+1,16=6\pi +(20-6\pi )\ ,[/tex]    

[tex]\bf 1,16\in [-1,57\, ;\, 1,57\, ]\ \ \ \Rightarrow \ \ \ (20-6\pi )\in \Big[-\dfrac{\pi }{2}\ ;\ \dfrac{\pi }{2}\ \Big][/tex]          

При вычислении функции  y=sinx  можно у аргумента отбрасывать период  2π · k  ,  k∈Z .

[tex]\bf sin20=sin\Big(6\pi +(20-6\pi )\Big)=sin\Big(20-6\pi \Big)[/tex]  

[tex]\bf arcsin\Big(sin20\Big)=arcsin\Big(sin(20-6\pi )\Big)=20-6\pi \ \ ,\ \ (20-6\pi )\in \Big[-\dfrac{\pi }{2}\ ;\ \dfrac{\pi }{2}\ \Big][/tex]

Ответ:   [tex]\boldsymbol{arcsun\Big(sin20\Big)=20-6\pi }[/tex]  .