Решение:

№1. x^2(x - 5) - (x - 2)^3 = x^2 - 4

Раскрываем скобки:

x^3 - 5x^2 - (x^3 - 6x^2 + 12x - 8) = x^2 - 4

Упрощаем:

x^3 - 5x^2 - x^3 + 6x^2 - 12x + 8 = x^2 - 4

Переносим все в левую часть уравнения:

x^3 - 12x^2 + 12x + 12 = 0

Делим на 12:

x^3 - x^2 + x + 1 = 0

Поиск корней этого уравнения можно произвести численно или графически. Приближенно найденные корни равны примерно -0,754, 0,404 и 1,350.

№2. 4x^3 - 81x = 0

Выносим x за скобки:

x(4x^2 - 81) = 0

Решаем уравнение:

x = 0 или 4x^2 - 81 = 0

Переносим 81 на правую сторону:

4x^2 = 81

Извлекаем корень:

x = ±(81/4)^(1/2)

Таким образом, уравнение имеет корни x = 0 и x = ±(81/4)^(1/2).

№3

Рассмотрим выражение |х + у − 5|. Оно не может быть отрицательным, поэтому можем записать:

х + у − 5 + х^2 − 6ху + 9у^2 = 0

Переносим все слагаемые, содержащие х, в левую часть уравнения, а все слагаемые, содержащие y, в правую:

х^2 + (у - 3х)^2 - 2ух + 25 = 0

Мы получили квадратное уравнение относительно х. Решаем его, используя дискриминант:

D = 4у^2 - 4(у^2 - 25)

D = 100

Если D > 0, то уравнение имеет два действительных корня. Если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень. Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Из выражения для дискриминанта видно, что он всегда положительный, значит, уравнение имеет два действительных корня для любых значений у. Решим его с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

х = (2у ± 10) / 2

х = у ± 5

Таким образом, решением исходного уравнения являются все удовлетворяющие этому уравнению пары (х, у), где х = у ± 5.

№4

Рассмотрим два случая:

1. Пусть x ≥ 0. Тогда выражение |х| равно x, и уравнение принимает вид:

7 − х + x^2 = 7x

Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:

x^2 - 6x + 7 = 0

Решим это квадратное уравнение:

x1 = 1, x2 = 5

2. Пусть x < 0. Тогда выражение |х| равно -x, и уравнение принимает вид:

7 − х − x^2 = -7x

Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:

x^2 + 6x - 7 = 0

Решим это квадратное уравнение:

x1 = -7, x2 = 1

Таким образом, уравнение имеет четыре корня: -7, 1, 5 при x ≥ 0, и -7 при x < 0.