Ответ:

a) График функции пересекает ось OY в точке (0; 8).

b) График функции пересекает ось OX в точках (-2; 0) и (4; 0).

c) Вершина параболы в точке (1; 9).

d) Уравнение оси симметрии x = 1.

e) Ветви параболы направлены вниз.

f) Построен график функции.

Промежутки знакопостоянства:
y > 0 при x ∈ (-2; 4);

y < 0 при x ∈ (-∞; -2) ∪(4; ∞).

Промежутки возрастания и убывания:

функция возрастает на промежутке x ∈ (-∞; 1];

функция убывает на промежутке x ∈ [1; ∞).

Объяснение:

Дана функция y = -x² + 2x + 8.
Выполнить задания.

а) Найдите точки пересечения графика функции с осью OY.

График функции пересекает ось OY при условии x = 0.

При x = 0

y = -0² + 2·0 + 8 = 8.

График функции пересекает ось OY в точке (0; 8)

b) Найдите точки пересечения графика функции с осью OX.

График функции пересекает ось OX при условии y = 0.

При y = 0

-x² + 2x + 8 = 0.

Решим квадратное уравнение.

[tex]\displaystyle D = b^{2} - 4ac \\\\D= (-2)^{2} -4 \cdot (-1) \cdot 8=4+32=36=6^{2}[/tex]

[tex]\displaystyle x_{1,2} =\frac{-b\pm\sqrt{D} }{2a} \\\\[/tex]

[tex]\displaystyle x_{1} =\frac{-2-6 }{-2}=\frac{-8}{-2} =4 ;\\\\x_{2} =\frac{-2+6 }{-2}=\frac{4}{-2} =-2[/tex]

График функции пересекает ось OX в точках (-2; 0) и (4; 0).

c) Запишите координаты вершины параболы.

[tex]\displaystyle x_{0} = \frac {-b}{2a} = \frac{-2}{-2} =1;[/tex]

y₀ = -1² + 2 · 1 + 8 = -1 + 2 + 8 = 9

Вершина параболы в точке (1; 9)

d) Запишите уравнение оси симметрии параболы.

Ось симметрии параболы - это прямая, проходящая через ее вершину параллельно оси OY.

Уравнение оси симметрии x = 1.

e) Найдите направление ветвей.

Старший коэффициент a = -1,  a < 0.

Ветви параболы направлены вниз.

f) Постройте график функции и найдите промежутки знакопостоянства и промежутки возрастания и убывания.

Составим таблицу значений аргументов и значений функции и построим график функции (в приложении).

x = -3;    y = -(-3)² + 2 · (-3) + 8 = -7;

x = -2;    y = 0 (нуль функции);

x = -1;     y =  -(-1)² + 2 · (-1) + 8 = 5;

x = 0;     y = 8; (пересечение оси Y)

x = 1;      y = 9 (вершина параболы);

с учетом оси симметрии:

x = 2;     y = 8;

x = 3;     y = 5;

x = 4;     y = 0 (нуль функции);

x = 5;    y = -7.

Промежутками знакопостоянства функции называются промежутки значений аргумента, на которых функция сохраняет свой знак.

y > 0 при x ∈ (-2; 4);

y < 0 при x ∈ (-∞; -2) ∪(4; ∞).

Промежутки возрастания и убывания:

функция возрастает на промежутке x ∈ (-∞; 1];

функция убывает на промежутке x ∈ [1; ∞).