Функция y=F(x) называется первообразной функции y=f(x) на промежутке Х, где для любого x ∈ X выполняется неравенство: F'(x)=f(x). То есть, чтобы найти первообразную F(x) нужно взять интеграл с f(x).

1) ∫[tex]a^{x} =\frac{a^{x}}{lna}+C.[/tex]

2) F(x) = ∫f(x)dx = ∫[tex]e^{3x}[/tex]dx=[tex]\frac{e^{3x} }{3} +C.[/tex]

3) [tex]f(x)=\frac{12}{\sqrt{3x-2} }[/tex]           A(9;30)

Для начала, найдем общий вид первообразной, интегрируя заданную функцию

F(x) = ∫f(x)dx = ∫[tex]\frac{12dx}{\sqrt{3x-2} }[/tex] =[Замена: t=x-2)= ∫[tex]\frac{4}{\sqrt{t}} dt[/tex]=4*2√t=4*2√(3x-2)=[tex]8\sqrt{3x-2} +C.[/tex]

Координаты точки А(9; 30), лежащей на графике первообразной, должны удовлетворять ее уравнению:

30=[tex]8\sqrt{3*9-2} +C[/tex]

30=[tex]8\sqrt{27-2} +C[/tex]

30=8*5+C

30=40+C

C=30-40=-10.

Подставив значение C в общее уравнение функции, найдем искомую первообразную:

=> F(x)=[tex]8\sqrt{3x-2} -10.[/tex]