На рисунку зображено куб АВСDA1B1C1D1. M, К – середини бічних ребер куба. Установити відповідність між кутами ( 1-4) і їх градусними мірами ( А-Д).
1) Кут між площинами АВСD і А1В1С1D1. А) 0º
2) Кут між площинами АВСD і АМКD Б) 90º
3) Кут між площинами АВСD і DD1C1C. В) 45º
4) Кут між площинами АВСD і АВ1С1D. Г) 60º
Д) arctg 1/2
1) Кут між площинами АВСD і А1В1С1D1. А) 0º
2) Кут між площинами АВСD і АМКD Б) 90º
3) Кут між площинами АВСD і DD1C1C. В) 45º
4) Кут між площинами АВСD і АВ1С1D. Г) 60º
Д) arctg 1/2
Answers & Comments
Відповідь: 1 - A, 2 - Д, 3 - Б, 4 - В.
Пояснення: 1) Прямі A1C1 та B1D1, які перетинаються, паралельні прямим AC та BD, які перетинаються (як діагоналі куба), тому площини A1B1C1D1 і ABCD - паралельні, а отже, кут між ними = 0 градусів.
2) Розглянемо прямокутний трикутник AMB (кут MBA = 90 градусів). У ньому tg кута MAB = MB/AB. Оскільки M ділить BB1 навпіл (тому MB = 1/2 BB1), а BB1 = AB (як ребра куба), то tg кута MAB = 1/2, а отже, кут MAB (кут між площинами ABCD і AMKD) = arctg 1/2.
3) Кут DCC1 (кут між площинами ABCD і DD1C1C) = 90 градусів (бо кут між будь-якими двома ребрами куба, які перетинаються, = 90 градусів).
4) Пряма AB1 площини AB1C1D - це діагональ грані AA1B1B куба. Грань AA1B1B - квадрат, а діагональ квадрата ділить його прямий кут навпіл, а отже, утворює кут 45 градусів зі стороною AB квадрата (прямою площини ABCD).