Докажите неравенства:
а)(a+b)(b+c)(a+c) > 8abc при a>0, b>0, c>0
б)(a+1)(b+1) ≥ 4√(ab) при a>0,b>0
в)√(ab)+√(bc)+√(ac) ≤ a+b+c при a>0,b>0,c>0
4)√((a+b)(c+d)) ≤ 1/2(a+c+b+d) при a>0,b>0,c>0,d>0
Заранее спасибо.
а)(a+b)(b+c)(a+c) > 8abc при a>0, b>0, c>0
б)(a+1)(b+1) ≥ 4√(ab) при a>0,b>0
в)√(ab)+√(bc)+√(ac) ≤ a+b+c при a>0,b>0,c>0
4)√((a+b)(c+d)) ≤ 1/2(a+c+b+d) при a>0,b>0,c>0,d>0
Заранее спасибо.
Answers & Comments
Ответ:
По неравенству Коши
a+b\geqslant2\sqrt{ab}\\ b+c\geqslant2\sqrt{bc}\\ c+a\geqslant2\sqrt{ca}
Умножив все три неравенства, получим:
(a+b)(b+c)(c+a)\geqslant2\sqrt{ab}\cdot2\sqrt{bc}\cdot2\sqrt{ca}=8abc
Что и требовалось доказать.
Объяснение: