Verified answer

Найдем область допустимых значений. Под знаком квадратного корня может находиться только неотрицательное выражение. Поэтому возникает система:

Ниже будет показан принцип нахождения ОДЗ, однако ОДЗ отдельно можно и не находить.

Рассмотрим первое неравенство:

Синус положителен в 1 и 2 четверти. Поэтому запишем:

Рассмотрим второе неравенство:

Косинус положителен в 1 и 4 четверти. Поэтому запишем:

Зная решение каждого неравенства, найдем ОДЗ:

Возвращаемся к исходному уравнению:

Возведем в квадрат обе части уравнения и найдем его решения. Далее необходимо будет проверить, являются ли при найденных решениях левая и правая часть полученного уравнения неотрицательными выражениями. Это будет соответствовать проверке ОДЗ.

Итак, возводим в квадрат:

Воспользуемся формулой приведения:

Косинусы равны когда их аргументы равны или противоположны с учетом основного периода .

Первый случай:

Решений в данном случае нет.

Второй случай:

Для удобства оценки распишем полученную серию решений на две:

Найдем косинус каждой серии решений, точнее знак этого косинуса. Так как в правой части уравнения после возведения его в квадрат стоял косинус, то это позволить определить и избавиться от посторонних корней.

Оценим аргумент косинуса следующим образом:

Значит, аргумент косинуса лежит в 4 четверти. Тогда, сам косинус принимает положительное значение. Следовательно, первая серия корней удовлетворяет исходному уравнению.

Оценим аргумент косинуса:

Оценка показывает, что аргумент косинуса лежит во 2 или 3 четверти. Тогда, косинус принимает отрицательное значение. Следовательно, вторая серия корней содержит посторонние корни.

Итак, общее решение исходного уравнения:

Найдем корни уравнения на отрезке :

Преобразуем следующие выражения:

Теперь хорошо видно, что левая и правая часть неравенства по модулю меньше 1 (левая часть отрицательна, правая соответственно положительна).

Это говорит о том, что:

Значит: .

При :

Ответ: