Verified answer

Ответ:

Представим общий член последовательности как сумму простейших дробей .

[tex]x_{n}=\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}[/tex]  

[tex]x_1+x_2+x_3+...+x_{19}+x_{20}=\displaystyle \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+...+\frac{1}{19\cdot 20}+\frac{1}{20\cdot 21}=\\\\\\=\Big(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\Big)+\Big(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\Big)+\Big(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\Big)+...+\Big(\frac{1}{19}-\frac{1}{20}\Big)+\Big(\frac{1}{20}-\frac{1}{21}\Big)=[/tex]

Если рассмотреть две рядом стоящие скобки, то увидим, что второе слагаемое первой скобки взаимно уничтожится с первым слагаемым второй скобки . Таким образом останутся две дроби : первая дробь в 1 скобке и последняя дробь в последней скобке .

[tex]=\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{21}=1-\dfrac{1}{21}=\dfrac{20}{21}[/tex]

P.S.  Коэффициенты разложения правильной дроби на сумму простейших дробей находим с помощью метода неопределённых коэффициентов .

[tex]\displaystyle \frac{1}{n(n+1)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+1}=\frac{An+A+Bn}{n(n+1)}\ \ \Rightarrow \\\\\\1=An+A+Bn\ \ \Rightarrow \ \ \ (A+B)\cdot n^1+A\cdot n^0=0\cdot n^1+1\cdot n^0\\\\A+B=0\ ,\\A=1\ \ \ \ \ \ \ ,\ \ \ \ B=-A=-1[/tex]