Замена переменных где у > 0 для всех x∈ R Так как у>0 то умножим обе части неравенства на 2у 2у² + 2 - 5у >0 Получили квадратное неравенство 2у² - 5у +2 > 0 Решаем по методу интервалов. Разложим квадратный трехчлен на множители решив уравнение 2у² - 5у +2 = 0 D =5² -4*2*2 =25-16 =9 у1 =(5-3)/4 =1/2; у2 =(5+3)/4 =2 Поэтому можно записать 2у² - 5у +2 = 2(у-1/2)(у-2) Запишем снова неравество 2(у-1/2)(у-2) > 0 На числовой прямой отразим знаки левой части неравенства полученные по методу подстановки. Например при у=0 у-1/2 =-1/2 < 0, y-2=0-2=-2<0, следовательно (у-1/2)(у-2)>0 ..........+..........0.......-.........0...........+ ------------------!---------------!----------------- .....................1/2................2 Следовательно неравенство истинно для всех значений у∈(-∞;1/2)U(2;+∞) Найдем значения х из совокупности неравенств Г; L
Г; L
Г 2x+1 < -1; L 2x + 1 > 1
Г x < -1; L x > 0
Следовательно исходное неравенство истинно для всех значений x∈(-∞;-1)U(0;+∞)
Answers & Comments
Verified answer
Замена переменных
Так как у>0 то умножим обе части неравенства на 2у
2у² + 2 - 5у >0
Получили квадратное неравенство
2у² - 5у +2 > 0
Решаем по методу интервалов. Разложим квадратный трехчлен на множители решив уравнение
2у² - 5у +2 = 0
D =5² -4*2*2 =25-16 =9
у1 =(5-3)/4 =1/2; у2 =(5+3)/4 =2
Поэтому можно записать
2у² - 5у +2 = 2(у-1/2)(у-2)
Запишем снова неравество
2(у-1/2)(у-2) > 0
На числовой прямой отразим знаки левой части неравенства полученные по методу подстановки.
Например при у=0 у-1/2 =-1/2 < 0, y-2=0-2=-2<0, следовательно
(у-1/2)(у-2)>0
..........+..........0.......-.........0...........+
------------------!---------------!-----------------
.....................1/2................2
Следовательно неравенство истинно для всех значений
у∈(-∞;1/2)U(2;+∞)
Найдем значения х из совокупности неравенств
Г
L
Г
L
Г 2x+1 < -1;
L 2x + 1 > 1
Г x < -1;
L x > 0
Следовательно исходное неравенство истинно для всех значений
x∈(-∞;-1)U(0;+∞)
Ответ: (-∞;-1)U(0;+∞)