log3(3/x)log2(x)-log3(x^3/√3)=1/2+log2(√x). Created by zavarihina2507. algebra-ru

Решение представлен на фотографий:

2+log2(√x)...

Veronika724

$\log_3\left(\dfrac{3}{x}\right)\log_2x - \log_3\left(\dfrac{x^3}{\sqrt{3}}\right) = \dfrac{1}{2} + \log_2\left(\sqrt{x}\ \right)$

Найдём область определения.

$\begin{equation*}\begin{cases}\dfrac{3}{x} > 0\\\\x > 0\\\\\dfrac{x^3}{\sqrt{3}} > 0\\\\\sqrt{x} > 0\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \ \Leftrightarrow\ \begin{equation*}\begin{cases}x > 0\\\\x > 0\\\\x > 0\\\\x > 0\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \ \Rightarrow\ \boxed{\boldsymbol{x > 0}}$

Применим свойство логарифма: $\log_{a}\dfrac{x}{y} = \log_ax - \log_ay$ . Отсюда:

$\log_2x\left(\log_33 - \log_3x\right) - \log_3\left(\dfrac{x^3}{\sqrt{3}}\right) = \dfrac{1}{2} + \log_2\left(x^{\frac{1}{2}}\right)$

Применим ещё два свойства: $\log_aa = 1$ , $\log_ax^p = p\cdot \log_ax$ , поэтому:

$\log_2x\left(1 - \log_3x\right) - \log_3\left(\dfrac{x^3}{\sqrt{3}}\right) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\log_2x}{2}$

Преобразуем дробь под знаком логарифма: $\dfrac{x^3}{\sqrt{3}} = \dfrac{x^3\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}} = \dfrac{x^3\sqrt{3}}{3}$ .

$\log_2x\left(1 - \log_3x\right) - \log_3\left(\dfrac{x^3\sqrt{3}}{3}\right) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\log_2x}{2}\\\\\\\log_2x\left(1 - \log_3x\right) - \left(\log_3\left(x^3\sqrt{3}\right) - \log_33\right) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\log_2x}{2}$

Раскрываем скобки:

$\log_2x - \log_2x\cdot\log_3x - \log_3\left(x^3\sqrt{3}\right) + 1 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\log_2x}{2}$

Применяем ещё одно свойство логарифма: $\log_axy = \log_ax + \log_ay$ .

$\log_2x - \log_2x\cdot\log_3x - \left(\log_3\left(x^3\right) + \log_3\left(\sqrt{3}\right)\right) + 1 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\log_2x}{2}\\\\\log_2x - \log_2x\cdot\log_3x - 3\log_3x - \log_3\left(3^{\frac{1}{2}}\right) + 1 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\log_2x}{2}\\\\\log_2x - \log_2x\cdot\log_3x - 3\log_3x - \dfrac{\log_33}{2} +1 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\log_2x}{2}\\\\\log_2x - \log_2x\cdot\log_3x - 3\log_3x - \dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\log_2x}{2}$

$\log_2x - \log_2x\cdot\log_3x - 3\log_3x + \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\log_2x}{2}$

Уничтожаем одинаковые слагаемые $\dfrac{1}{2}$ по разные стороны знака "равно".

$\log_2x - \log_2x\cdot\log_3x - 3\log_3x = \dfrac{\log_2x}{2}\\\\\log_2x - \log_2x\cdot\log_3x - 3\log_3x - \dfrac{\log_2x}{2} = 0\\\\\dfrac{\log_2x}{2} - \log_2x\cdot\log_3x - 3\log_3x = 0\ \ \ \ \ \ \ \Big| \cdot 2\\\\\log_2x - 2\cdot\log_2x\cdot\log_3x - 6\log_3x = 0$

Воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма: $\log_ab = \dfrac{\log_cb}{\log_ca}$ , переходить будем к основанию 2 там, где основание 3.

$\log_2x - 2\cdot\log_2x\cdot\dfrac{\log_2x}{\log_23} - 6\cdot\dfrac{\log_2x}{\log_23} = 0\\\\\\\log_2x - \dfrac{2\cdot\log_2x\cdot\log_2x}{\log_23} - \dfrac{6\log_2x}{\log_23} = 0\\\\\\\log_2x - \dfrac{2\cdot\log^2_2x}{\log_23} - \dfrac{6\log_2x}{\log_23} = 0\ \ \ \ \ \ \ \Big| \cdot \log_23\\\\\\\log_2x \cdot\log_23 - 2\log^2_2x - 6\log_2x = 0\\\\\log_2x\left(\log_23 - 2\log_2x - 6\right) = 0$

Рассматриваем два случая.

$\left[\begin{gathered}\log_2x = 0\\\\\log_23 - 2\log_2x - 6 = 0\end{gathered}\ \ \ \ \ \Leftrightarrow\ \left[\begin{gathered}x = 1\\\\\log_23 - 2\log_2x - 6 = 0\end{gathered}$

Второе уравнение решим отдельно.

$\log_23 - 2\log_2x - 6 = 0\\\\2\log_2x = \log_23 - 6\ \ \ \ \ \ \ \Big| :2\\\\\log_2x = \dfrac{\log_23}{2} - 3$

Если $\log_ab=c$ , то $a^c = b$ . В нашем случае:

$x= 2^{\frac{\log_23}{2} - 3$

Воспользуемся свойством степени: $a^{m-n} = \dfrac{a^m}{a^n}$ .

$x = \dfrac{2^{\frac{\log_23}{2}}}{2^3}\\\\\\x = \dfrac{2^{\frac{\log_23}{2}}}{8}$

$\dfrac{\log_23}{2} = \dfrac{1}{2}\cdot\log_23$ , а потому можно вновь воспользоваться свойством, тогда получится $\log_2\left(3^{\frac{1}{2}}\right) = \log_2\left(\sqrt{3}\right)$ . Тогда получается: