2С) 2пиД)4 пиОтвет с решением нужно Пожалуйста можете дать ответ .ДАМ 15 БАЛЛОВ ...

July 2022 1 28 Report

1.4. Найдите наименьший положительный период функции y = sin 2х × cos 2х
А) пи
В) пи/2
С) 2пи
Д)4 пи
Ответ с решением нужно
Пожалуйста можете дать ответ .
ДАМ 15 БАЛЛОВ ПЖ

Answers & Comments

Veronika724

Для начала упростим имеющееся выражение по формуле произведения синуса на косинус:

$\sin\alpha\cos\beta = \dfrac{\sin\left(\alpha + \beta\right) + \sin\left(\alpha - \beta\right)}{2}$

В нашем случае получается:

$\sin 2x\cdot\cos2x = \dfrac{\sin\left(2x + 2x\right) + \sin\left(2x - 2x\right)}{2} = \dfrac{\sin4x + \sin0}{2} = \boxed{\dfrac{\sin4x}{2}}$

Итак, от $y = \sin2x\cos2x$ мы перешли к $y = \dfrac{\sin4x}{2}$ . Теперь будем рассматривать период. Говоря простым языком, период - это какое-то определённое значение, пройдя которое мы вернёмся в ту же самую точку, из которой начинали движение. Должно выполняться вот это равенство: $\underline{f(x) = f\left(x + T\right)}$ , где $T$ - это и есть этот период. В нашем случае получается вот так:

$\boxed{\dfrac{\sin4x}{2} = \dfrac{\sin4\left(x + T\right)}{2}}$

Теперь есть два способа решения этого уравнения. Первый - это муторный и прямолинейный. Просто перенести всё в левую часть, далее через разность синусов и так медленно добираться до периода. Второй способ намного проще, но надо понимать, что происходит. Дело в том, что $T$ мы изменять не можем, так как это переменная, которую нам надо найти. Зато $x$ мы можем присвоить любое удобное нам значение. Он ни на что не влияет, равенство в рамке продолжает соблюдаться, поскольку мы заменим икс в обеих частях, но всё станет намного проще. Например, здесь удобнее взять $\boldsymbol{x = 0}$ . Нам известно, что $\sin0 = 0$ , и вся левая часть в него превратится. Получится вот так:

$\dfrac{\sin\left(4\cdot 0\right)}{2} = \dfrac{\sin4\left(0+T\right)}{2}\\\\\\\dfrac{\sin0}{2} = \dfrac{\sin4T}{2}\\\\\\\dfrac{\sin4T}{2} = 0$

Теперь просто решаем обычное тригонометрическое уравнение и находим $T$ .

$\dfrac{\sin4T}{2} = 0\\\\\sin4T = 0\\\\4T = \pi k\\\\\\\boxed{T = \dfrac{\pi k}{4}}\ \ ,\, k\in\mathbb{Z}$

Итак, вот мы к этому и пришли. Возникает вопрос, что делать с $k$ ? В условии задания написано, что нужно найти наименьший положительный период данной функции. Так как $k\in\mathbb{Z}$ , то $k = \{...\, ,-2,-1,0,1,2,...\}$ . Положительное число должно быть больше нуля, и очевидно, что $\dfrac{\pi k}{4} > 0$ при $k \geqslant 1$ . Поэтому подставляем наше первое значение: $k = 1$ . При нём получаем:

$T_1 = \dfrac{\pi \cdot 1}{4} = \dfrac{\pi}{4}$

Но не стоит сразу радоваться. Сначала проверим период на соответствие равенству $f\left(x\right) = f\left(x+T_1\right)$ .

$\dfrac{\sin4x}{2} = \dfrac{\sin4\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}{2}\\\\\\\dfrac{\sin4x}{2} = \dfrac{\sin\left(4x +\pi\right)}{2}$

Согласно формуле приведения, $\sin\left(\pi + \alpha\right) = -\sin\alpha$ , отсюда имеем:

$\dfrac{\sin4x}{2} = -\dfrac{\sin4x}{2}$

Равенство не выполнено, значит, $\dfrac{\pi}{4}$ не является периодом данной функции. Проверяем дальше, $k = 2$ .

$T_2 = \dfrac{\pi\cdot 2}{4} = \dfrac{\pi}{2}$

Точно так же подставляем в $f(x) = f\left(x + T_2\right)$ .

$\dfrac{\sin4x}{2} = \dfrac{\sin4\left(x + \frac{\pi}{2}\right)}{2}\\\\\\\dfrac{\sin4x}{2} = \dfrac{\sin\left(4x + 2\pi\right)}{2}$

По формуле приведения $\sin\left(2\pi + \alpha\right) = \sin\alpha$ , поэтому:

$\boxed{\dfrac{\sin4x}{2} = \dfrac{\sin4x}{2}}$

А потому $T_2 = \dfrac{\pi}{2}$ и является искомым периодом.

Ответ: В)

2 votes Thanks 1

Answers & Comments

2 64a33969c37ba

pozhalujsta mozhete reshit srochno nuzhno

pomogite pozhalujsta srochno 1neskolko uchashihsya issledovali vliyanie aktivnost a

bolasha energiya kzderisizge bolashaty energiyasy alaly esse bajauyna a

zapishite uravnenie reakcii razlozheniya nitrata magniya i rasstavte koefficienty

okolo trapecii opisana okruzhnost perimetr trapecii raven 42 srednyaya liniya 6 s

k odnoj tochke prilozhili dve sily f1 10h i f220 pol uglom 60 najdite ravnod

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social