Ответ:

[tex]\boldsymbol{\boxed{\lim_{x \to 0} \frac{\text{arctg}\ 2x}{2 \sin x} =1}}[/tex]

Примечание:

Первый замечательный предел:

[tex]\boxed{\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{ x}= 1}[/tex]

По следствию из первого замечательно предела:

[tex]\boxed{\lim_{x \to 0} \frac{x}{ \sin x}= 1}[/tex]

[tex]\boxed{\lim_{x \to 0} \frac{ \ \text{arctg}\ x}{x }=1}[/tex]

Пошаговое объяснение:

[tex]\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\text{arctg}\ 2x}{2 \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{x \ \text{arctg}\ 2x}{2x \sin x}= \lim_{x \to 0} \frac{ \ \text{arctg}\ 2x}{2x } \cdot \lim_{x \to 0} \frac{x}{ \sin x}= 1 \cdot 1 =1[/tex]