cos4x+1=1/2sin4x*(ctgx-tgx)

ctgx-tgx = cos2x/(sinx*cosx) - расписав ctg и tg через sin и cos , приведя к общему знаменателю.

sin4x=2sin2x*cos2x  - расписав по формуле синус суммы : sin(2x+2x)

1/2sin4x = 1/2 * 2sin2x*cos2x = cos2sx*sin2x

1/2sin4x*(ctgx-tgx)=cos2sx*sin2x* cos2x/(sinx*cosx) = 2cos^2(2x)

cos4x+1=2cos^2(2x) - формула понижение аргумента

2cos^2(2x) = 2cos^2(2x)  -что и требовалось доказать!