Решение.

Равносторонний треугольник АВС со стороной  [tex]\bf a=2\sqrt3[/tex]   см .

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник ,

равен  1/3  высоты , проведённой от вершины к противоположной

стороне ,  [tex]\bf r=\dfrac{1}{3}\cdot h\ \ ,\ \ h=BH\ \ ,\ \ \ BH\perp AC[/tex]   .  

Длину высоты можно найти из прямоугольного треугольника  АВН ,

[tex]\bf a=AB\ ,\ AH=\dfrac{a}{2}\\\\BH^2=AB^2-AH^2=a^2-\dfrac{a^2}{4}=\dfrac{3a^2}{4}\ \ ,\ \ \ BH=h=\dfrac{a\sqrt3}{2}[/tex]  

Радиус вписанной окружности равен

[tex]\bf r=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{a\sqrt3}{2}=\dfrac{a\sqrt3}{6}[/tex]  

Ответ:  [tex]\bf r=\dfrac{a\sqrt3}{6}[/tex]   .