Verified answer

а) Для поиска критических точек найдем производную функции f(x):

f'(x) = 2x^2 - 3x - 5

Найдем корни этого уравнения:

2x^2 - 3x - 5 = 0

D = b^2 - 4ac = 9 + 40 = 49

x1 = (3 + 7) / 4 = 2

x2 = (3 - 7) / 4 = -1/2

Таким образом, критические точки функции f(x) равны x1 = 2 и x2 = -1/2.

б) Найдем знак производной на каждом из промежутков между критическими точками:

f'(x) > 0 на интервалах (-∞; -1/2) и (2; +∞)

f'(x) < 0 на интервале (-1/2; 2)

Следовательно, функция f(x) монотонно возрастает на интервалах (-∞; -1/2) и (2; +∞), и монотонно убывает на интервале (-1/2; 2).

в) Найдем значение производной функции f(x) в точке x0 = 3:

f'(3) = 23^2 - 33 - 5 = 9

Таким образом, уравнение касательной к графику функции f(x) в точке x0 = 3 имеет вид:

y - f(3) = f'(3) * (x - 3)

y - (23^3/3 - 33^2/2 - 5*3 + 17) = 9 * (x - 3)

г) Область определения функции f(x) не ограничена. График функции имеет две критические точки: точку локального максимума в точке x = 2 и точку локального минимума в точке x = -1/2. Функция монотонно возрастает на интервалах (-∞; -1/2) и (2; +∞), и монотонно убывает на интервале (-1/2; 2). Схематический график функции выглядит следующим образом:

    ^

     |              *

     |            *   *  

     |          *       *

     |       *             *

     |   *                     *

------+--------------------------------------->

     | -1/2         2         x

     |            

     |            

     |            

     |            

     |