Ответ:

Нужно добавить 11 пуговиц.

Объяснение:

Даша попыталась разделить пуговицы на 3 равные кучки, осталась 1 пуговица.
Когда она попыталась поделить все свои пуговицы на 5 равных кучек, но осталось 4 пуговицы.
Какое наименьшее количество пуговиц надо добавить, чтобы все пуговицы можно было разложить поровну и на 3 кучки, и на 5 кучек?

1) Пусть у Даши всего x пуговиц.

При делении числа пуговиц на 3 получается остаток 1. Значит существует такое число a, что выполняется равенство:

x = 3a + 1, где a - частное от деления числа x на 3 с остатком 1.

При делении числа пуговиц на 5 получается остаток 4. Значит существует такое число b, что выполняется равенство:

x = 5b + 4, где b - частное от деления числа x на 5 с остатком 4.

Тогда всего пуговиц:   3a + 1 = 5b + 4 ,

a, b, x - натуральные числа.

2) Выразим переменную b через переменную a.

5b + 4 = 3a + 1;

5b = 3a + 1 - 4;

5b = 3a - 3;

5b = 3(a-1);

[tex]\displaystyle b=\frac{3(a-1)}{5}[/tex]

3) 3(a - 1) делится на 5.

Но 3 не делится на 5. Значит на 5 делится число (a - 1).

Наименьшее натуральное число, которое делится на 5 - это число 5.

Тогда:

a - 1 = 5;

a = 6.

b = 3 · 5 : 5 = 3.

При a = 6 и b = 3

3a + 1 = 5b + 4;

3 · 6 + 1 = 5 · 3 + 4;

19 = 19.

Наименьшее число пуговиц, которое может быть у Даши равно 19.

4) Какое наименьшее количество пуговиц надо добавить, чтобы все пуговицы можно было разложить поровну и на 3 кучки, и на 5 кучек?

Числа 3 и 5 являются взаимно простыми, так как они не имеют общих делителей, кроме 1.

Наименьшее общее кратное чисел взаимно простых чисел равно их произведению.

НОК (3; 5) = 15.

Но 15 < 19.

Следующее число, которое делится и на 3 и на 5 - это число

2 · 15 = 30.

Так как у Даши наименьшее возможное число пуговиц 19, то нужно добавить еще 11, чтобы их можно было разделить на кучки по 3 штуки и по 5 штук.

30 - 19 = 11.

Нужно добавить 11 пуговиц.