Ответ:

1.   Доказано: ND = BK;   FB = FD;   KF = FN.

2.   ∠С = ∠А = 60°;   ∠В = ∠D = 120°

Объяснение:

Задача 1. В ромбе ABCD из вершин его тупых углов проведены высоты BN (N ∈ CD) и DK (К ∈ ВС), которые пересекаются в точке F. Докажите, что: а) BK = DN; б) BF = FD;  в) KF = NF. Задача 2. Пользуясь условием задачи 1, найдите углы ромба при условии, что BF : FN = 2:1.​

Дано: ABCD - ромб;

BN ∩ DK = F - высоты;

BF : FN = 2:1

1. Доказать:  а) BK = DN; б) BF = FD;  в) KF = NF;

2. Найти: углы ромба.

Решение:

1) Рассмотрим ΔCKD и ΔCNВ - прямоугольные.

CB = CD (стороны ромба)

∠С - общий.

⇒ ΔCKD = ΔCNВ (по гипотенузе и острому углу)

• Если треугольники равны, то равны и соответственные элементы.

⇒ ∠CBN = ∠CDK;   CN = CK.

2) Рассмотрим ΔFKB и ΔFND - прямоугольные.

ND = CD - CN

KB = CB - CK

⇒ ND = BK

∠CBN = ∠CDK

⇒ ΔFKB = ΔFND (по катету и острому углу)

Из равенства треугольников следует:

FB = FD; KF = FN.

2. Найдем углы ромба.

BF : FN = 2:1

Пусть FN = x, тогда FB = 2x.

Рассмотрим ΔKBF - прямоугольный.

KF = FN = x;   FB = 2x.

• Если катет вдвое меньше гипотенузы, то он лежит против угла в 30°.

⇒ ∠KBF = 30°

• Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Из ΔСВN - прямоугольного получим:

∠С = 90° - ∠KBN = 90° - 30° = 60°

• Противоположные угла ромба равны.

⇒ ∠С = ∠А = 60°

• Сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, равна 180°.

⇒ ∠В = ∠D = 180° - 60° = 120°

#SPJ1