Ответ:

Позначимо вершини рівностороннього трикутника як A, B, C. Нехай P - точка, яка відстоїть від сторін AB, BC, CA на 2 см. Позначимо точки перетину прямих, що проходять через P та паралельні сторонам трикутника, як D, E, F. Тоді PD = PE = PF = 2 см.

Оскільки трикутник ABC рівносторонній, то висота, опущена з вершини на сторону, є бісектрисою та медіаною цієї сторони. Тому висоти AD, BE та CF є однакової довжини. Позначимо цю довжину як h.

Розглянемо трикутник APE. Застосовуючи теорему Піфагора, отримуємо:

$AP^2 = AE^2 + PE^2 = h^2 + 4$

Аналогічно для трикутників BPD та CPF:

$BP^2 = BF^2 + PF^2 = h^2 + 4$

$CP^2 = CD^2 + PD^2 = h^2 + 4$

Оскільки трикутник ABC рівносторонній, то точки D, E, F лежать на одній прямій, яка є висотою трикутника. Тому сума $AD + BE + CF$ дорівнює довжині висоти трикутника, яка є $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 3 = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.

Але $AD = AP + PD$, $BE = BP + PE$ та $CF = CP + PF$. Тому:

$AD + BE + CF = AP + PD + BP + PE + CP + PF = (AP^2 + BP^2 + CP^2)^\frac{1}{2} + 6$

Підставляючи вирази для $AP^2$, $BP^2$ та $CP^2$, отримуємо:

$(h^2 + 4 + h^2 + 4 + h^2 + 4)^\frac{1}{2} + 6 = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

$3\sqrt{3} + 6 = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

$6 = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Отримане рівняння не має розв'язків в дійсних числах. Отже, задача не має розв'язку. Ймовірно, умова задачі була сформульована некоректно.