Verified answer

[tex]$\sqrt{3}+\sqrt{28-10\sqrt{3}}$[/tex]

Пока что нас не волнует первое слагаемое. Будем разбираться со вторым!

Хочется как-то избавится от главного корня. Избавится мы можем только если выделим полный квадрат под корнем. Хорошо, давайте попробуем!

Заметим, что в подкоренном выражении два слагаемых, пока работаем со вторым. 10 умножают на [tex]$\sqrt{3} $[/tex], но если мы хотим выделить полный квадрат, то нужно найти удвоенное произведение. Десять можно разложить как [tex]2\cdot 5[/tex]. Мы получили удвоенное произведение

Общая формула выглядит так [tex]$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$[/tex]

Раз мы нашли удвоенное произведение, то в роле [tex]a[/tex] будет пять, а в роле [tex]b[/tex] будет [tex]$\sqrt{3} $[/tex], тогда получаем

[tex]$5^2-2\cdot 5\cdot \sqrt{3}+\left ( \sqrt{3} \right )^2=25-2\cdot 5\cdot \sqrt{3}+3=28-2\cdot 5\cdot \sqrt{3}$[/tex]

Мы получили то, что находится под корнем, а значит мы правильно нашли [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex]. Выделяем полный квадрат

[tex]$\sqrt{3}+\sqrt{\left ( 5-\sqrt{3} \right )^2}=\sqrt{3}+5-\sqrt{3}=5$[/tex]

[tex]\displaystyle\bf\\\sqrt{3} +\sqrt{28-10\sqrt{3} }=\sqrt{3} +\sqrt{25 -2\cdot 5\cdot \sqrt{3} +3}=\\\\\\=\sqrt{3} +\sqrt{5^{2} -2\cdot 5\cdot \sqrt{3} +(\sqrt{3} )^{2} } =\sqrt{3} +\sqrt{(5-\sqrt{3} )^{2} } =\\\\\\=\sqrt{3} +|5-\sqrt{3} |=\sqrt{3} +5-\sqrt{3} =5\\\\\\Otvet \ : \ 5[/tex]