Для решения этой задачи нам необходимо найти координаты точек М и N, а затем использовать формулу расстояния между двумя точками в системе координат.

Для начала, давайте найдем координаты точки M. Для этого мы можем решить уравнение прямой 3x - 4y + 34 = 0 относительно y:

3x - 4y + 34 = 0

-4y = -3x + 34

y = (3/4)x - 8.5

Таким образом, координаты точки М равны (x, y) = (x, (3/4)x - 8.5).

Теперь, давайте найдем координаты точки N, используя уравнение окружности х² +y² - 8x +2y -8 = 0. Мы можем выразить y относительно x:

y = -x²/2 + 4x - 4 ± sqrt(20 - x²)

Но нам нужна только та точка на окружности, которая лежит на прямой М, то есть точка с координатами (x, (3/4)x - 8.5). Мы можем найти это значение, подставив y = (3/4)x - 8.5 в уравнение окружности:

x² + y² - 8x + 2y - 8 = 0

x² + ((3/4)x - 8.5)² - 8x + 2((3/4)x - 8.5) - 8 = 0

x² + (9/16)x² - 6x + 72.25 - 8x + (3/2)x - 12 - 8 = 0

(25/16)x² - (11/2)x + 56.25 = 0

Решив квадратное уравнение, мы найдем значения x, а затем можем найти соответствующие значения y:

x = 4.5 ± sqrt(27)/2

y = (3/4)x - 8.5

Теперь у нас есть координаты точек M и N. Мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в системе координат, чтобы найти наименьшее расстояние между точками М и N:

d = sqrt((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)

Подставляя координаты точек М и N, мы получаем:

d = sqrt((4.5 ± sqrt(27)/2 - x)² + ((3/4)(4.5 ± sqrt(27)/2) - 8.5 - y)²)

Вычисляя значение этого выражения для обоих значений x, мы найдем две возможные дистанции между точками M и N. Наименьшее из этих значений будет искомым расстоянием.