Verified answer

Ответ:

1) [tex]\displaystyle \bf b\sqrt{3}=\sqrt{3b^2}[/tex] (b ≥ 0)  или   [tex]\displaystyle \bf b\sqrt{3}=-\sqrt{3b^2}[/tex] (b < 0)

2) [tex]\displaystyle \bf x^3\sqrt{-x} =-\sqrt{-x^7}[/tex]

3) [tex]\displaystyle \bf m\sqrt{m^5}=\sqrt{m^7}[/tex]

4) [tex]\displaystyle \bf x\sqrt{y}=-\sqrt{x^2y}[/tex]

5) [tex]\displaystyle \bf mn^2\sqrt{m^3n}=-\sqrt{m^5n^5}[/tex]

6) [tex]\displaystyle \bf 4a\sqrt{\frac{a}{2} } =\sqrt{8a^3}[/tex]

Объяснение:

Внести множитель под знак корня.

• Квадратным корнем из неотрицательного числа a называется такое неотрицательное число b, квадрат которого равен a.

Свойство квадратного корня:

[tex]\sqrt{a^2} =|a|=\begin{equation*} \begin{cases} a,\;\;\;a > 0 \\ 0,\;\;\;a=0\\ -a,\;\;\;a < 0 \\ \end{cases}\end{equation*}[/tex]

а = 0 можно присоединить к верхнему или нижнему неравенству:

Получим:

[tex]\displaystyle \bf \sqrt{a^2}=|a|=\left \{ {{a,\;\;\;a\geq 0} \atop {-a,\;\;\;a < 0}} \right.[/tex]    или     [tex]\displaystyle \bf \sqrt{a^2}=|a|=\left \{ {{a,\;\;\;a > 0} \atop {-a,\;\;\;a \leq 0}} \right.[/tex]

Прочтем это свойство справа налево:

• Если  [tex]\displaystyle \bf a > 0[/tex] или a ≥ 0, то [tex]\displaystyle \bf a=|a|=\sqrt{a^2}[/tex]
• Если [tex]\displaystyle \bf a < 0[/tex] или a ≤ 0, то [tex]\displaystyle \bf -a=|a|=\sqrt{a^2}[/tex]   ⇒  [tex]\displaystyle \bf a=-|a|=-\sqrt{a^2}[/tex]

1) [tex]\displaystyle \bf b\sqrt{3}[/tex]

Здесь неизвестно, b ≥ 0 или b < 0.

Рассмотрим оба варианта.

1. b ≥ 0   ⇒   b = √b²

[tex]\displaystyle \bf b\sqrt{3}=\sqrt{b^2}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{3b^2}[/tex]

2. b < 0   ⇒   b = -√b²

[tex]\displaystyle \bf b\sqrt{3}=-\sqrt{b^2}\cdot \sqrt{3}=-\sqrt{3b^2}[/tex]

2) [tex]\displaystyle \bf x^3\sqrt{-x}[/tex]

Так как подкоренное выражение неотрицательно, то

-х ≥ 0   ⇒ x ≤ 0   ⇒  x³ ≤ 0   ⇒   x³ = -√x⁶

[tex]\displaystyle \bf x^3\sqrt{-x} =-\sqrt{x^6}\cdot \sqrt{-x}=-\sqrt{-x^7}[/tex]

3) [tex]\displaystyle \bf m\sqrt{m^5}[/tex]

m⁵ ≥ 0   ⇒   m ≥ 0   ⇒   m = √m²

[tex]\displaystyle \bf m\sqrt{m^5}=\sqrt{m^2}\cdot \sqrt{m^5}=\sqrt{m^7}[/tex]

4) [tex]\displaystyle \bf x\sqrt{y}[/tex] , если x ≤ 0

⇒ x = -√x²

[tex]\displaystyle \bf x\sqrt{y}=-\sqrt{x^2}\cdot \sqrt{y}=-\sqrt{x^2y}[/tex]

5) [tex]\displaystyle \bf mn^2\sqrt{m^3n}[/tex] , если m ≤ 0, n ≤ 0

⇒ m = -√m² ;  n² = √n⁴

[tex]\displaystyle \bf mn^2\sqrt{m^3n}=-\sqrt{m^2}\cdot \sqrt{n^4}\cdot \sqrt{m^3n}=-\sqrt{m^5n^5}[/tex]

6) [tex]\displaystyle \bf 4a\sqrt{\frac{a}{2} }[/tex]

a ≥ 0   ⇒   a = √a²

[tex]\displaystyle \bf 4a\sqrt{\frac{a}{2} } =\sqrt{16a^2}\cdot \sqrt{\frac{a}{2} } =\sqrt{\frac{16a^2\cdot a}{2} } =\sqrt{8a^3}[/tex]

#SPJ1