Ответ:

$6.85,\text{см}^3$.

Объяснение:

Позначимо за $a$ і $b$ сторони паралелограму, тобто $a = 3,\text{см}$ і $b = 5,\text{см}$. Кут між сторонами паралелограму дорівнює $60^\circ$.

Знайдемо довжину меншої діагоналі паралелепіпеда. Позначимо за $d$ довжину меншої діагоналі. Тоді за теоремою Піфагора для трикутника, утвореного меншою діагоналлю, площиною основи і висотою, маємо:

(

�

/

2

)

2

+

(

�

/

2

)

2

+

(

�

/

2

)

2

=

ℎ

2

,

(d/2)

2

+(a/2)

2

+(b/2)

2

=h

2

,

де $h$ — висота паралелепіпеда. Враховуючи, що кут між меншою діагоналлю і площиною основи дорівнює $45^\circ$, отримаємо:

�

2

=

2

�

2

+

2

�

2

.

d

2

=2a

2

+2b

2

.

Обʼєм паралелепіпеда можна знайти як добуток площі основи на висоту:

�

=

�

�

ℎ

.

V=abh.

Залишилося знайти висоту $h$. З рисунку видно, що висота паралелепіпеда є довжиною відрізка, проведеного з вершини, протилежної площині основи, до площини, яка містить меншу діагональ. Оскільки цей відрізок є висотою трикутника зі сторонами $a/2$, $b/2$ і $d/2$, то за теоремою Піфагора маємо:

ℎ

2

=

(

�

/

2

)

2

−

(

(

�

/

2

)

2

+

(

�

/

2

)

2

)

.

h

2

=(d/2)

2

−((a/2)

2

+(b/2)

2

).

Зведемо всі результати в одну формулу:

�

=

�

�

(

�

/

2

)

2

−

(

(

�

/

2

)

2

+

(

�

/

2

)

2

)

.

V=ab

(d/2)

2

−((a/2)

2

+(b/2)

2

)

​

.

Підставляємо вирази для $a$, $b$ і $d$:

�

=

3

см

⋅

5

см

⋅

(

2

см

)

2

−

(

(

3

см

)

2

/

4

+

(

5

см

)

2

/

4

)

≈

6.85

см

3

.

V=3см⋅5см⋅

(2см)

2

−((3см)

2

/4+(5см)

2

/4)

​

≈6.85см

3

.

Отже, обʼєм паралелепіпеда становить приблизно $6.85,\text{см}^3$.