Составьте уравнение окружности, проходящей через точки А (6; 0),

B (0; - 4) и центр которой принадлежит прямой 3x + y = 4.

Решение. Уравнение окружности

(x – х₀)²+ (y – у₀)² = R² , где (х₀; у₀)- координаты центра, R- радиус .

Пусть центр окружности имеет координаты О(х;у).

По формуле d=√( (х₁-х₂)²+(у₁-у₂)² ), где (х₁;у₁ ), (х₂;у₂ ) -координаты концов отрезка выразим длины отрезков:

ОА=√( (6-х)²+(0-у)² ),

ОВ=√( (0-х)²+(4-у)² ). Т.к. ОА=ОВ=R , то ОА²=ОВ² ⇒

(6-х)²+(0-у)²= (0-х)²+(4-у)²,

36-2х+х²+у²= х²+16-8у+у²,

36-2х=16-8у ⇒ 2х-8у-20=0.

Тк координаты центра О удовлетворяют уравнению 3x + y = 4, то имеет место быть система :

{2х-8у-20=0,

{3x + y-4 = 0 |•8 и сложим первое уравнение и второе. Получим

( 2х+24х)+(-20-32)=0,

26х=52, х=2. Тогда 2•2-8у-20=0 , у=-2.

Координаты центра О(2;-2).

ОА=√( (6-2)²+(0+2)² )= √20.

Уравнение окружности

(x – 2)²+ (y +2)² = 20 .