Ответ:

1) Площа паралелограма дорівнює добутку довжини однієї сторони на висоту, яка проведена до протилежної сторони. Оскільки одна з діагоналей перпендикулярна до сторони паралелограма, то вона є висотою. Таким чином, площа дорівнює 3 см * 5 см = 15 см^2. Висота, як і раніше зазначено, дорівнює 3 см.

2) Нехай сторона ромба дорівнює а. Тоді, згідно з умовою, ми маємо систему рівнянь:

a = 1 12/13 + 11 1/13 = 13

a/2 = (1 12/13 + 11 1/13)/2 = 6 7/13

Оскільки діагоналі ромба перпендикулярні і діляться точкою дотику кола, вписаного в ромб, то вони є середніми геометричними між сторонами ромба. Таким чином, діагоналі дорівнюють 2 * 6 7/13 = 12 14/13 см. Площа ромба дорівнює добутку діагоналей, поділеному на 2: 12 14/13 см * 12 14/13 см / 2 = 96 см^2.

3) Площа рівнобічної трапеції дорівнює добутку половини суми основ на висоту: 120 см^2 = (a+b)/2 * 8, де a і b - основи трапеції. Звідси отримуємо a + b = 30. Висота рівнобічної трапеції є бісектрисою кута між основами, тому можемо скористатися теоремою Піфагора: h^2 = a^2 - ((a-b)/2)^2. Підставляючи a + b = 30, маємо:

h^2 = a^2 - ((30-2a)/4)^2

h^2 = a^2 - (225/16 - 15a/8 + a^2/16)

h^2 = (16a^2 - 15a - 225)/16

Підставляючи площу і висоту, отримуємо:

120 = (a+b)/2 * 8

a + b = 30

h^2 = (16a^2 - 15a - 225)/16

Розв'язуючи систему рівнянь, отримуємо a = 15 і b = 15, тому діагоналі трапеції дорівнюють 2 * √(h^2 + (b-a)^2/4) = 2 * √(64) = 16 см.

4) Позначимо менший гострий кут прямокутного трикутника через α. Тоді бісектриса цього кута ділить протилежний катет на відрізки 4x і 5x, де x - спільний множник. За умовою задачі, різниця цих відрізків дорівнює 1/3, тому можемо записати:

5x - 4x = 1/3

x = 1/15

Тоді катети трикутника дорівнюють 4x = 4/15 і 5x = 1/3. Площа трикутника дорівнює половині добутку катетів: (4/15 * 1/3) / 2 = 2/45.