Ответ:

Позначимо довжину гіпотенузи як $AB$, а довжину катета який проведений з точки $A$ до прямої $BC$ як $AC$. Тоді за умовою задачі:

$$AB + AC = 31$$

$$AB - AC = 5$$

Додавши обидві рівності, ми отримаємо:

$$2AB = 36$$

$$AB = 18$$

Тепер можемо знайти $AC$ шляхом віднімання другої рівності від першої:

$$AC = AB - 5 = 18 - 5 = 13$$

Отже, довжина катета $AC$ дорівнює 13 см.

Щоб знайти відстань від точки $A$ до прямої $BC$, позначимо цю відстань як $h$. Тоді можна скористатися формулою для обчислення площі трикутника через довжину його сторін та висоту:

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 13 = 117$$

$$h = \frac{2S_{ABC}}{BC} = \frac{2 \cdot 117}{AB} = \frac{2 \cdot 117}{18} = 13$$

Отже, відстань від точки $A$ до прямої $BC$ дорівнює 13 см.