Задача №3. Натуральные числа а и b таковы, что а²+b2+b делится на ab. Докажите, что число (а

May 2023 1 9 Report

Задача №3. Натуральные числа а и b таковы, что а²+b2+b делится на ab. Докажите, что число (а – 1) является квадратом целого числа.

Решение

Пусть d = НОД(a, b) – наибольший общий делитель чисел a и b, a = du, b = dv. Сокращая на d², получим, что u² + v² делится на uv. Но

НОД(u² + v², uv) = 1, так как u и v взаимно просты. Следовательно, uv = 1. Значит, u = v = 1, a = b = d.