Ответ:

Пошаговое объяснение:

Перш за все, знайдемо вектор спрямованої відрізком КМ:

$$\vec{KM} = \begin{pmatrix} 2 - 1 \ 1 - (-3) \ -4 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \ 4 \ -6 \end{pmatrix}$$

Тепер знайдемо його норму:

$$|\vec{KM}| = \sqrt{1^2 + 4^2 + (-6)^2} = \sqrt{53}$$

Ми знаємо, що відрізок KN має довжину $2\sqrt{53}$. За теоремою Піфагора, квадрат довжини відрізка KN дорівнює сумі квадратів довжин векторів $\vec{KN}$ і $\vec{KM}$:

$$(2\sqrt{53})^2 = |\vec{KN}|^2 + |\vec{KM}|^2$$

$$212 = |\vec{KN}|^2 + 53$$

$$|\vec{KN}|^2 = 159$$

Отже, ми шукаємо вектор $\vec{KN}$ довжиною $2\sqrt{53}$, що ортогональний вектору $\vec{KM}$. Це можна знайти, використовуючи проекцію вектора $\vec{KN}$ на вектор $\vec{KM}$:

$$\operatorname{proj}_{\vec{KM}} \vec{KN} = \frac{\vec{KN} \cdot \vec{KM}}{|\vec{KM}|^2} \vec{KM}$$

де $\cdot$ - скалярний добуток. Оскільки проекція вектора $\vec{KN}$ ортогональна до вектора $\vec{KM}$, то вектор $\vec{KN}$ можна розкласти на суму вектора проекції та вектора, який є ортогональним до $\vec{KM}$:

$$\vec{KN} = \operatorname{proj}_{\vec{KM}} \vec{KN} + \vec{v}$$

де $\vec{v}$ - ортогональний до $\vec{KM}$ вектор.

Тоді $|\vec{KN}|^2$ можна записати як:

$$|\vec{KN}|^2 = |\operatorname{proj}_{\vec{KM}} \vec{KN}|^2 + |\vec{v}|^2$$

Звідси маємо:

$$|\vec{v}|^2 = |\vec{KN}|^2 - |\operatorname{proj}_{\vec{KM}} \vec{KN}|^2 = 159 - \frac{(\vec{KN} \cdot \vec{KM})^2}{|\vec{KM}|^2}$$

Підставляємо відомі значення: