3 . Найдите длину отрезка DE...

July 2022 1 27 Report

В параллелограмме ABCD точка Е лежит на стороне АВ, отрезки DE и СЕ являются биссектрисами углов ADC и BCD соответственно. Известно, что длина диагонали АС равна 3, а величина угла ADC равна π/3 . Найдите длину отрезка DE.

Answers & Comments

Artem112

Verified answer

Так как угол ADC равен π/3, то есть 60°, и DE - биссектриса угла ADC, то углы ADE и CDE равны по 60°:2=30°.

Сумма смежных углов параллелограмма равна 180°, значит:

∠BCD=180°-∠ADC=180°-60°=120°

Так как угол BCD равен 120° и CE - биссектриса угла BCD, то углы BCE и DCE равны по 120°:2=60°.

Рассмотрим треугольник CDE. Так как два угла в нем известны, то найдем третий угол CED:

∠CED=180°-∠CDE-∠DCE=180°-30°-60°=90°

Значит, треугольник CDE - прямоугольный.

В прямоугольном треугольнике катет лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы.

Введем обозначения. Пусть катет CE, лежащий против угла в 30°, равен a. Тогда гипотенуза CD равна 2а. Заметим, что CD соответствует одной из сторон параллелограмма.

Рассмотрим треугольник ВСЕ. Найдем неизвестные его углы.

Так как противоположные углы параллелограмма равны, то:

∠ABC=∠ADC=60°

Зная два угла треугольника, найдем третий:

∠BEC=180°-∠BCE-∠CBE=180°-60°-60°=60°

Все углы треугольника ВСЕ равны, значит он - равносторонний.

Одна из сторон треугольника ВСЕ обозначена как а, значит и все его стороны равны а. В том числе, сторона параллелограмма ВС=а.

Таким образом, известны в наших обозначениях стороны параллелограмма: AB=DC=2a, BC=AD=a.

Рассмотрим треугольник АВС. Запишем для него теорему косинусов:

$\mathrm{AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos ABC}$

Подставим известные соотношения:

$\mathrm{AC^2}=(2a)^2+a^2-2\cdot 2a\cdot a\cdot\cos 60^\circ$

$\mathrm{AC^2}=4a^2+a^2-4a^2\cdot\dfrac{1}{2}$

$\mathrm{AC^2}=5a^2-2a^2$

$\mathrm{AC^2}=3a^2$

По условию АС=3.

$3a^2=3^2$

$a^2=3$

$a=\sqrt{3}$ (отрицательный корень смысла не имеет)

Вернемся к треугольнику CDE. Две стороны в нем теперь известны: $CE=\sqrt{3}$ , $CD=2\sqrt{3}$ . Запишем теорему Пифагора:

$\mathrm{CE^2+DE^2=CD^2}$

Выражаем искомый отрезок DE:

$\mathrm{DE=\sqrt{CD^2-CE^2} }$

$\mathrm{DE}=\sqrt{(2\sqrt{3} )^2-(\sqrt{3} )^2} =3$

Ответ: 3

1 votes Thanks 2

Answers & Comments

Verified answer

tex]...

oharakterizujte vse sluchai oslozhnenij 1 konechno s etim boryutsya te kto hotel

29 otmette nomer predlozheniya v kotorom ne stavitsya zapyataya na meste propuska

pomogite srochno v pryamougolnom treugolnike dlina vysoty provedennoj k gipoted07423c52d33678257448c62ac4211c 56692

obrazuyushaya konusa naklonena k ploskosti ego osnovaniya pod uglom 45 gradusov a eg

45 otmette nomer predlozheniya v kotorom na meste propuska ne stavitsya dvoetochic136f324872e6ebc51696e152c71da41 53317

uprostite logicheskoe uravnenie ekvivalentnymi preobrazovaniyami do minimalnogo v

pomogite srochno v ravnobedrennom treugolnike abc s osnovanie ab vershiny a c

v treugolnoj piramide tri grani vzaimno perpendikulyarny i ih ploshadi ravny 210

27 otmette nomer predlozheniya gde na meste propuskov ne nado stavit zapyatye

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social