3 sinx + 2 cosx = 3.. Created by valeria2999. algebra-ru

Поделим все части на корень из суммы квадратов коэффициентов перед тригонометрическими функциями.Сделали это для того, чтобы теперь наш корень из суммы квадратов коэффициентов был равен единице. Проверим:Так как это верное равенство, значит, числа и лежат на единичной окружности. Соответственно, существует такой угол , что, например, и . Отсюда возьмём .Можно наш ответ "разорвать" и привести к более благородному виду:Ответ.

3 sinx + 2 cosx = 3...

valeria2999 @valeria2999

July 2022 1 18 Report

3 sinx + 2 cosx = 3.

Answers & Comments

d3782741

$3\sin x+2\cos x=3$

Поделим все части на корень из суммы квадратов коэффициентов перед тригонометрическими функциями.

$\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$

$\dfrac{3}{\sqrt{13}}\sin x+\dfrac{2}{\sqrt{13}}\cos x=\dfrac{3}{\sqrt{13}}$

Сделали это для того, чтобы теперь наш корень из суммы квадратов коэффициентов был равен единице. Проверим:

$\sqrt{\left(\dfrac{3}{\sqrt{13}}\right)^2+\left(\dfrac{2}{\sqrt{13}}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{9+4}{13}}=\sqrt{\dfrac{13}{13}}=\sqrt{1}=1$

Так как это верное равенство, значит, числа $\dfrac{3}{\sqrt{13}}$ и $\dfrac{2}{\sqrt{13}}$ лежат на единичной окружности. Соответственно, существует такой угол $\varphi$ , что, например, $\sin\varphi=\dfrac{3}{\sqrt{13}}$ и $\cos\varphi=\dfrac{2}{\sqrt{13}}$ . Отсюда возьмём $\varphi=\arcsin\dfrac{3}{\sqrt{13}}$ .

$\sin\varphi\sin x+\cos\varphi\cos x=\dfrac{3}{\sqrt{13}}\medskip\\\cos\left(x-\varphi\right)=\dfrac{3}{\sqrt{13}}\medskip\\x-\varphi=\pm\arccos\dfrac{3}{\sqrt{13}}+2\pi n,\,n\in\mathbb{Z}\medskip\\x=\varphi\pm\arccos\dfrac{3}{\sqrt{13}}+2\pi n,\,n\in\mathbb{Z}\medskip\\x=\arcsin\dfrac{3}{\sqrt{13}}\pm\arccos\dfrac{3}{\sqrt{13}}+2\pi n,\,n\in\mathbb{Z}$

Можно наш ответ "разорвать" и привести к более благородному виду:

$\left[\begin{gathered}x=\arcsin\dfrac{3}{\sqrt{13}}+\arccos\dfrac{3}{\sqrt{13}}+2\pi n,\,n\in\mathbb{Z}\\x=\arcsin\dfrac{3}{\sqrt{13}}-\arccos\dfrac{3}{\sqrt{13}}+2\pi n,\,n\in\mathbb{Z}\end{gathered}$

$\left[\begin{gathered}x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\,n\in\mathbb{Z}\\x=2\arcsin\dfrac{3}{\sqrt{13}}-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\,n\in\mathbb{Z}\end{gathered}$

Ответ. $x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\,n\in\mathbb{Z}\,;~x=2\arcsin\dfrac{3}{\sqrt{13}}-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\,n\in\mathbb{Z}$

1 votes Thanks 1

valeria2999 А если делать через формулу сумму синусов? При этом угол альфа=arccos(3/на корень из 13). Получается sin(x+ arccos(3/корень из 13))=3/ на корень из 13.Это правильно?

d3782741 Да, наверное. Здесь разницы нет, какой угол брать за синус, а какой за косинус.

valeria2999 Спасибо большое

Answers & Comments

Helpful Links

Helpful Social