Verified answer

Стороны треугольника равны 9 и 12. Косинус угла между ними равен 2/3. В треугольник вписан ромб, имеющий с этим треугольником общий угол, и одна вершина ромба лежит на стороне треугольника, противолежащей этому углу. Найти сторону ромба

Найдем третью сторону треугольника  х по теореме косинусов
х²=9²+12²-2*9*12*2/3=81+144-216*2/3
х²=81
х=9
Выяснилось, что треугольник - равнобедренный с боковыми сторонами, равными 9, и основанием - 12
Пусть ромб с треугольником имеют общий угол между равными боковыми сторонами.

Тогда его стороны равны половине боковой стороны и равны.
9:2=4,5

Действительно, проведя среднюю линию, параллельную каждой боковой стороне, мы получим ромб со сторонами, равными половинам боковых сторон, с диагоналями, равными большая - высоте треугольника  и меньшая -  средней линии, параллельной основанию треугольника. 

------------------------------------------

Есть и вариант 2, он несколько сложнее.

Здесь общий угол ромба и треугольника - при основании.
Средними линиями уже не обойтись.

Второй случай решения состоит в том, что общий угол у ромба и у треугольника находится при основании треугольника.

Имеется рисунок (вложение)

известно, что AC=12, BC=9, AB = 9.

Из свойства равнобедренного треугольника следует, что угол BAC равен углу ACB. (1)

Из параллельности сторон в параллелограмме (а ромб является частным случаем параллелограмма) следует, что угол BDE равен углу DAF, а угол DAF равен углу EFC (2).

AE - биссектриса угла ВАС (из свойств ромба). По теореме о биссектрисах

,

откуда 

Так как этот треугольник - равнобедренный (из 1 и 2), то , где EF - сторона ромба.